P1074 靶形数独

题目描述

小城和小华都是热爱数学的好学生，最近，他们不约而同地迷上了数独游戏，好胜的他

们想用数独来一比高低。但普通的数独对他们来说都过于简单了，于是他们向 Z 博士请教，

Z 博士拿出了他最近发明的“靶形数独”，作为这两个孩子比试的题目。

靶形数独的方格同普通数独一样，在 9 格宽×9 格高的大九宫格中有 9 个 3 格宽×3 格

高的小九宫格（用粗黑色线隔开的）。在这个大九宫格中，有一些数字是已知的，根据这些数字，利用逻辑推理，在其他的空格上填入 1 到 9 的数字。每个数字在每个小九宫格内不能

重复出现，每个数字在每行、每列也不能重复出现。但靶形数独有一点和普通数独不同，即

每一个方格都有一个分值，而且如同一个靶子一样，离中心越近则分值越高。（如图）

上图具体的分值分布是：最里面一格（黄色区域）为 10 分，黄色区域外面的一圈（红

色区域）每个格子为 9 分，再外面一圈（蓝色区域）每个格子为 8 分，蓝色区域外面一圈（棕

色区域）每个格子为 7 分，最外面一圈（白色区域）每个格子为 6 分，如上图所示。比赛的

要求是：每个人必须完成一个给定的数独（每个给定数独可能有不同的填法），而且要争取

更高的总分数。而这个总分数即每个方格上的分值和完成这个数独时填在相应格上的数字

的乘积的总和

总分数即每个方格上的分值和完成这个数独时填在相应格上的数字

的乘积的总和。如图，在以下的这个已经填完数字的靶形数独游戏中，总分数为 2829。游戏规定，将以总分数的高低决出胜负。

由于求胜心切，小城找到了善于编程的你，让你帮他求出，对于给定的靶形数独，能

够得到的最高分数。

输入输出格式

输入格式：

一共 9 行。每行 9 个整数（每个数都在 0―9 的范围内），表示一个尚未填满的数独方

格，未填的空格用“0”表示。每两个数字之间用一个空格隔开。

输出格式：

输出共 1 行。

输出可以得到的靶形数独的最高分数。如果这个数独无解，则输出整数-1。

输入输出样例

输入样例#1： 

7 0 0 9 0 0 0 0 1 
1 0 0 0 0 5 9 0 0 
0 0 0 2 0 0 0 8 0 
0 0 5 0 2 0 0 0 3 
0 0 0 0 0 0 6 4 8 
4 1 3 0 0 0 0 0 0 
0 0 7 0 0 2 0 9 0 
2 0 1 0 6 0 8 0 4 
0 8 0 5 0 4 0 1 2

输出样例#1： 

2829

输入样例#2： 

0 0 0 7 0 2 4 5 3 
9 0 0 0 0 8 0 0 0 
7 4 0 0 0 5 0 1 0 
1 9 5 0 8 0 0 0 0 
0 7 0 0 0 0 0 2 5 
0 3 0 5 7 9 1 0 8 
0 0 0 6 0 1 0 0 0 
0 6 0 9 0 0 0 0 1 
0 0 0 0 0 0 0 0 6

输出样例#2：

　2852

说明

【数据范围】

40%的数据，数独中非 0 数的个数不少于 30。

80%的数据，数独中非 0 数的个数不少于 26。

100%的数据，数独中非 0 数的个数不少于 24。

NOIP 2009 提高组 第四题

Solution:

　　本题很容易想到深搜，关键是普通的暴力搜索必定会超时，如何剪枝是关键。

　　回想平时我们做数独游戏时，一般都是先去尝试所填的可能是答案的数字最少的某一空（这是显然的，毕竟尝试的次数会少很多）。

　　于是将这思想运用到本题上。

　　我们先按题意建一张表$w$，其中$w[i][j]$表示第$i$行$j$列填数字的底分。很容易想到用$hang[i][j]$表示第$i$行$j$数字是否出现过，$lie[i][j]$意思同理，关键是多了一个判断条件九宫格，我们可以将整个$9*9$的方格分为$9$块，行数列数小于等于$3$的当作第$1$块，行数小于等于$3$列数小于等于$6$的分为第$2$块…依次分出$9$个九宫格，再用数组$q[i][j]$表示第$i$个九宫格中$j$数字是否出现过。

　　读入时，累加给定的数字的个数$tot$并对数字所出现的行、列、九宫格、填数的位置($vis$数组)打上标记，并累加分数$sum$。

　　搜索时，只要填$81-tot$个数，然后枚举每一个没有填过的位置，求出它可能的填数个数，取当前局面中可填数个数最小的点的位置$x,y$，累加填$[x][y]$位置的分数，搜索回溯，当数填满后，比较$ans$就$ok$了。(搜索这东西思路说了都懂，关键是代码的实现，详情请看代码理解！)

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define il inline
#define ll long long
#define debug printf("%d %s
",__LINE__,__FUNCTION__)
using namespace std;
const int N=15;
int mp[N][N],a[N][N],sum,ans=-1,tot;
int w[N][N]={
    {0,0,0,0,0,0,0,0,0,0},
    {0,6,6,6,6,6,6,6,6,6},
    {0,6,7,7,7,7,7,7,7,6},
    {0,6,7,8,8,8,8,8,7,6},
    {0,6,7,8,9,9,9,8,7,6},
    {0,6,7,8,9,10,9,8,7,6},
    {0,6,7,8,9,9,9,8,7,6},
    {0,6,7,8,8,8,8,8,7,6},
    {0,6,7,7,7,7,7,7,7,6},
    {0,6,6,6,6,6,6,6,6,6},
};
bool vis[N][N],hang[N][N],lie[N][N],q[N][N];
il int check(int x,int y){
    if(x<=3){
        if(y<=3)return 1;
        if(y<=6)return 2;
        return 3;
    }
    else if(x<=6){
        if(y<=3)return 4;
        if(y<=6)return 5;
        return 6;
    }
    else{
        if(y<=3)return 7;
        if(y<=6)return 8;
        return 9;
    }
}
il void dfs(int used,int sum){
    if(used==0){ans=max(ans,sum);return ;}
    if(sum>ans&&ans!=-1){return;}
    int sss=520520520,xx,yy,op;
    for(int i=1;i<=9;i++)
        for(int j=1;j<=9;j++)
        if(!vis[i][j]){
            op=0;
            for(int p=1;p<=9;p++)
                if(!lie[j][p]&&!hang[i][p]&&!q[check(i,j)][p])op++;
            if(op<sss)sss=op,xx=i,yy=j;
        }
    op=check(xx,yy);
    for(int i=1;i<=9;i++)
        if(!lie[yy][i]&&!hang[xx][i]&&!q[op][i]){
            hang[xx][i]=lie[yy][i]=q[op][i]=vis[xx][yy]=1;
            dfs(used-1,sum+w[xx][yy]*i);
            hang[xx][i]=lie[yy][i]=q[op][i]=vis[xx][yy]=0;
        }
}
int main()
{
    for(int i=1;i<=9;i++)
        for(int j=1;j<=9;j++){
        cin>>a[i][j];
        if(a[i][j]){
            tot++;
            sum+=a[i][j]*w[i][j];
            hang[i][a[i][j]]=lie[j][a[i][j]]=vis[i][j]=q[check(i,j)][a[i][j]]=1;
        }
    }
    dfs(81-tot,sum);
    cout<<ans;
    return 0;
}