P1171 售货员的难题

题目背景

数据有更改

题目描述

某乡有n个村庄(1<n≤201<nle201<n≤20 )，有一个售货员，他要到各个村庄去售货，各村庄之间的路程s(0<s<1000)是已知的，且A村到B村与B村到A村的路大多不同。为了提高效率，他从商店出发到每个村庄一次，然后返回商店所在的村，假设商店所在的村庄为1，他不知道选择什么样的路线才能使所走的路程最短。请你帮他选择一条最短的路。

输入输出格式

输入格式：

村庄数n和各村之间的路程(均是整数)。

输出格式：

最短的路程。

输入输出样例

输入样例#1： 

3
0 2 1
1 0 2
2 1 0

输出样例#1： 

3

说明

输入解释

3 {村庄数}

0 2 1 {村庄1到各村的路程}

1 0 2 {村庄2到各村的路程}

2 1 0 {村庄3到各村的路程}

Solution:

法一：

　　经典的状压dp题目。设f[i][j]表示某个状态的最短距离，其中i的二进制表示下的各位若为1则表示该点被访问过，j表示当前在j点，则容易得到状态转移方程：

　　f[i][j]=min{f[iυ{v}][v]+w[j][v]} 

由于最后要回到起点1，所以最后判断一下:

　　ans=min{f[(1«n)-1][i]+w[i][1]}。

状压代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define il inline
#define ll long long
using namespace std;
const int N=1<<20;
int n,w[25][25],f[N][22],ans=0x3f3f3f3f;
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)cin>>w[i][j];
    memset(f,0x3f,sizeof(f));
    f[1][1]=0;
    cout<<f[20][1]<<endl;
    cout<<ans<<endl;
    for(int i=1;i<(1<<n);i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
        if(!((1<<j-1)&i))
            for(int k=1;k<=n;k++)
            if((1<<k-1)&i)f[(1<<j-1)|i][j]=min(f[(1<<j-1)|i][j],f[i][k]+w[k][j]);
    for(int i=2;i<=n;i++)ans=min(ans,f[(1<<n)-1][i]+w[i][1]);
    cout<<ans;
    return 0;
}

法二：

　　当然本题也可以搜索+剪枝。

　　剪枝1：优化搜索顺序，按边从小到大排序。

　　剪枝2：最优性剪枝，若大于当前最优值则return。

　　剪枝3：可行性剪枝，将当前到没访问的点的距离都假设为1，若当前走过的距离加上没访问的点个数仍大于当前最优值，则return。

搜索代码：

#include<iostream>
#include<cstdio> 
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,min1=200010,sum,minv[21],mind=200010;
bool vis[21];
struct node{
    int dis,id;
}a[21][21],b[21];
void dfs(int q,int last){
    if(q==n){
        min1=min(min1,sum+minv[last]);
        return ;
    }
    for(int i=2;i<=n;i++)
        if(!vis[a[last][i].id]){
            if(sum+a[last][i].dis>min1)return;//如果当前已走的距离已经大于当前最优值 返回 
            if(sum+a[last][i].dis+n-q+mind>=min1)return ;
            //假想最小值剩下的村庄（n-q）的距离都是1 并且最后回到1的时候的距离也是最小的。
            //如果此时还是超了当前最小值 后面的就都不需要搜了。 
            vis[a[last][i].id]=1;
            sum+=a[last][i].dis;
            dfs(q+1,a[last][i].id);
            vis[a[last][i].id]=0;
            sum-=a[last][i].dis;
        }
}
bool cmp(node a,node b){
    return a.dis<b.dis;
}
int main(){
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++){
            cin>>a[i][j].dis;
            a[i][j].id=j; 
        }
        minv[i]=a[i][1].dis;//minv[i]表示i村庄到1的距离 
        if(i!=1)mind=min(mind,minv[i]);//表示所有村庄到1的最短距离（不包括1到1） 
        sort(a[i]+1,a[i]+n+1,cmp);//读数据时每次得到一行的值后对边值排序。这样可以更快得到较优值。 
    }
    vis[1]=1;
    dfs(1,1);
    cout<<min1;
    return 0;
}