P1403 [AHOI2005]约数研究

题目描述

科学家们在Samuel星球上的探险得到了丰富的能源储备，这使得空间站中大型计算机“Samuel II”的长时间运算成为了可能。由于在去年一年的辛苦工作取得了不错的成绩，小联被允许用“Samuel II”进行数学研究。

小联最近在研究和约数有关的问题，他统计每个正数N的约数的个数，并以f(N)来表示。例如12的约数有1、2、3、4、6、12。因此f(12)=6。下表给出了一些f(N)的取值：

f(n)表示n的约数个数，现在给出n，要求求出f(1)到f(n)的总和。

输入输出格式

输入格式：

输入一行，一个整数n

输出格式：

输出一个整数，表示总和

输入输出样例

输入样例#1： 

3

输出样例#1： 

5

说明

【数据范围】

20%N<=5000

100%N<=1000000

Solution：

本题纯考数学，因为需要求1到n的数所含的各自的约数和，我们可以转换为：1～n中是1的倍数的数有n/1个，是2的倍数的有n/2个，是3的倍数的数有n/3个，…直到n/n，于是直接O(n)扫一遍每次ans+=n/i就ok了。

当然上述的方法可以完美解决本题，但有一种适用于更大数据的巧妙优化方法，思路和上面是一样的，但是我们考虑到当i枚举到比较大时，会出现重复的n/i，举个例子：

当n为100时，n/i(1≤i≤100)分别为：
100 50 33 25 20 16 14 12 11 10 9 8 7 7 6 6 5 5 5 5 4 4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

容易发现出现了许多重复的数，而我们完全没必要重复去算而是直接一次性累加完。

方法是设x=n/i,y=n/x，x表示的是n内i的倍数的个数，y表示n内因子个数为x的最大因子(即i最多枚举到y,每次n/i的值都为x)，则显然因子个数为x的i值共y-i+1个，于是ans+=x*(y-i+1)，然后i直接变为y+1；

这样去优化的话：复杂度从O(n)变为了O(2*sqrt(n))，在n特别大时，优化效果极其鲜明。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define il inline
#define ll long long
using namespace std;
const int N=1000005;
int n,k;
ll ans;
int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i=k+1){
        k=n/(n/i);
        ans+=n/i*(k-i+1);
    }
    cout<<ans;
    return 0;
}