P1040 加分二叉树

题目描述

设一个n个节点的二叉树tree的中序遍历为（1,2,3,…,n），其中数字1,2,3,…,n为节点编号。每个节点都有一个分数（均为正整数），记第i个节点的分数为di，tree及它的每个子树都有一个加分，任一棵子树subtree（也包含tree本身）的加分计算方法如下：

subtree的左子树的加分× subtree的右子树的加分＋subtree的根的分数。

若某个子树为空，规定其加分为1，叶子的加分就是叶节点本身的分数。不考虑它的空子树。

试求一棵符合中序遍历为（1,2,3,…,n）且加分最高的二叉树tree。要求输出；

（1）tree的最高加分

（2）tree的前序遍历

输入输出格式

输入格式：

第1行：一个整数n（n＜30），为节点个数。

第2行：n个用空格隔开的整数，为每个节点的分数（分数＜100）。

输出格式：

第1行：一个整数，为最高加分（结果不会超过4,000,000,000）。

第2行：n个用空格隔开的整数，为该树的前序遍历。

输入输出样例

输入样例#1： 

5
5 7 1 2 10

输出样例#1： 

145
3 1 2 4 5

Solution：

　　本题显然是一道树形dp题目，然后我们可以转为区间$dp$来做。首先，由于本题是中序遍历出1到n的序列，则一段连续的序列必定是在同一棵子树中的，且这一段序列中的某个数为根节点将序列分为两部分，而这两部分又这样递归下去来组成。

因为一段序列在同一棵子树中再由题意中的计算分数的公式于是定义的状态为$f[i][j]$，表示i到j这段连续序列能组成的最大分数，则很容易得到状态转移方程：

$f[i][j]=max(f[i][k-1]*f[k+1][j]+a[k])$（其中$k$为枚举的根节点且 $i≤k≤j,a[k]$为$k$节点的分数），

然后记录一下使$f[i][j]$最大时的根节点，目标为$f[1][n]$，输出前序遍历时由于顺序是根左右，于是直接递归输出就$ok$了。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define il inline
#define ll long long
#define N 50
#define inf 2333333333333
using namespace std;
int n,path[N][N],f[N][N],a[N];
il int dfs(int l,int r)
{
    if(f[l][r])return f[l][r];
    if(l>r)return 1;
    if(l==r)f[l][r]=a[l],path[l][r]=l;
    else {
        for(int i=l;i<=r;i++)
        {
            int x=dfs(l,i-1)*dfs(i+1,r)+a[i];
            if(x>f[l][r])f[l][r]=x,path[l][r]=i;
        }
    }
    return f[l][r];
}
il void print(int l,int r)
{
    if(l>r)return;
    printf("%d ",path[l][r]);
    print(l,path[l][r]-1);
    print(path[l][r]+1,r);
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
    printf("%d
",dfs(1,n));
    print(1,n);
    return 0;
}