P3369 【模板】普通平衡树（Treap/SBT）

题目描述

您需要写一种数据结构（可参考题目标题），来维护一些数，其中需要提供以下操作：

1. 插入x数

2. 删除x数(若有多个相同的数，因只删除一个)

3. 查询x数的排名(排名定义为比当前数小的数的个数+1。若有多个相同的数，因输出最小的排名)

4. 查询排名为x的数

5. 求x的前驱(前驱定义为小于x，且最大的数)

6. 求x的后继(后继定义为大于x，且最小的数)

输入输出格式

输入格式：

第一行为n，表示操作的个数,下面n行每行有两个数opt和x，opt表示操作的序号( 1≤opt≤6 1 leq opt leq 6 1≤opt≤6 )

输出格式：

对于操作3,4,5,6每行输出一个数，表示对应答案

输入输出样例

输入样例#1：

10
1 106465
4 1
1 317721
1 460929
1 644985
1 84185
1 89851
6 81968
1 492737
5 493598

输出样例#1：

106465
84185
492737

说明

时空限制：1000ms,128M

1.n的数据范围： n≤100000

2.每个数的数据范围： [−107,107]

来源：Tyvj1728 原名：普通平衡树

在此鸣谢

 

Solution：

本题需要的6种操作的splay实现原理见此

splay代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define il inline
#define ll long long
#define RE register
#define For(i,a,b) for(RE int (i)=(a);(i)<=(b);(i)++)
#define Bor(i,a,b) for(RE int (i)=(b);(i)>=(a);(i)--)
#define son(x) (ch[fa[x]][1]==x)
using namespace std;
const int N=100005,inf=0x7fffffff;
int ch[N][2],fa[N],siz[N],rk[N],date[N],root,cnt,n,tot;

int gi(){
    int a=0;char x=getchar();bool f=0;
    while((x<'0'||x>'9')&&x!='-') x=getchar();
    if(x=='-') x=getchar(),f=1;
    while(x>='0'&&x<='9') a=(a<<3)+(a<<1)+(x^48),x=getchar();
    return f?-a:a;
}

il void pushup(int rt){
    int ls=ch[rt][0],rs=ch[rt][1];
    siz[rt]=siz[ls]+siz[rs]+rk[rt];
}

il void rotate(int x){
    int y=fa[x],z=fa[y],b=son(x),c=son(y),a=ch[x][!b];
    z?ch[z][c]=x:root=x; fa[x]=z;
    if(a)fa[a]=y; ch[y][b]=a;
    ch[x][!b]=y,fa[y]=x;
    pushup(y),pushup(x);
}

il void splay(int x,int i){
    while(fa[x]!=i){
        RE int y=fa[x],z=fa[y];
        if(z==i) rotate(x);
        else {
            if(son(x)==son(y)) rotate(y),rotate(x);
            else rotate(x),rotate(x);
        }
    }
}

void insert(int &rt,int x){
    if(!rt){
        rt=++cnt,date[cnt]=x,siz[cnt]=rk[cnt]=1;
        return;
    }
    if(x==date[rt]){rk[rt]++,siz[rt]++;return;}
    if(x<date[rt]) 
        insert(ch[rt][0],x),fa[ch[rt][0]]=rt;
    else 
        insert(ch[rt][1],x),fa[ch[rt][1]]=rt;
    pushup(rt);
}

il int getpre(int rt,int x){
    int p=rt,ans;
    while(p){
        if(x<=date[p]) p=ch[p][0];
        else ans=p,p=ch[p][1];
    }
    return ans;
}

il int getsuc(int rt,int x){
    int p=rt,ans;
    while(p){
        if(x>=date[p]) p=ch[p][1];
        else ans=p,p=ch[p][0];
    }
    return ans;
}

il int getmin(int rt){
    int p=rt,ans=-1;
    while(p) ans=p,p=ch[p][0];
    return ans;
}

void del(int rt,int x){
    if(date[rt]==x) {
        if(rk[rt]>1) rk[rt]--,siz[rt]--;
        else {
            splay(rt,0);
            int p=getmin(ch[rt][1]);
            if(~p) {
                splay(p,rt);
                root=p,fa[p]=0;
                ch[p][0]=ch[rt][0],fa[ch[rt][0]]=p;
                pushup(p);
            }
            else {
                root=ch[rt][0],fa[ch[rt][0]]=0;
            }
        }
        return ;
    }
    if(x<date[rt]) del(ch[rt][0],x);
    else del(ch[rt][1],x);
    pushup(rt);
}

int getrank(int rt,int x){
    if(x==date[rt]){
        splay(rt,0);
        if(!ch[rt][0]) return 1;
        return siz[ch[rt][0]]+1;
    }
    if(x<date[rt]) return getrank(ch[rt][0],x);
    return getrank(ch[rt][1],x);
}

int getorder(int rt,int k){
    int ls=ch[rt][0];
    if(siz[ls]+1<=k&&k<=siz[ls]+rk[rt]) return date[rt];
    if(k<siz[ls]+1) return getorder(ch[rt][0],k);
    if(siz[ls]+rk[rt]<k) return getorder(ch[rt][1],k-siz[ls]-rk[rt]);
}

int main(){
    n=gi();
    while(n--){
        RE int opt=gi(),x=gi();
        if(opt==1) tot++,insert(root,x),splay(cnt,0),root=cnt;
        if(opt==2) tot--,del(root,x);
        if(opt==3) printf("%d
",getrank(root,x));
        if(opt==4) printf("%d
",getorder(root,x));
        if(opt==5) printf("%d
",date[getpre(root,x)]);
        if(opt==6) printf("%d
",date[getsuc(root,x)]);
    }
    return 0;
}

本题用Treap的实现：引用自hzwer的博客

这是一道平衡树的模板题

treap是一棵修改了结点顺序的二叉查找树

通常树内的每个结点x都有一个关键字值key[x]，另外，还要为结点分配一个随机数。

假设所有的优先级是不同的，所有的关键字也是不同的。treap的结点排列成让关键字遵循二叉查找树性质，并且优先级遵

循最小堆顺序性质：
1.如果v是u的左孩子，则key[v] < key[u].
2.如果v是u的右孩子，则key[v] > key[u].
3.如果v是u的孩子，则rand[u] > rand[u].
这两个性质的结合就是为什么这种树被称为“treap”的原因，因为它同时具有二叉查找树和heap的特征。

Treap代码：

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
using namespace std;
const int N=1e6+10;
struct tree{
    int l,r;//左右儿子节点编号 
    int num;//当前节点的数字 
    int s;//以当前节点为根的子树的节点数 
    int sum;//当前节点的数字的数量 
    int rnd;//随机优先级 
}tr[N];//下标为节点编号 
int n,rt,cnt,t1,t2;
void updata(int &k){
    int &l=tr[k].l,&r=tr[k].r;
    tr[k].s=tr[l].s+tr[r].s+tr[k].sum;
}
void lturn(int &k){
    int t=tr[k].r;tr[k].r=tr[t].l;tr[t].l=k;
    tr[t].s=tr[k].s;updata(k);k=t;
}
void rturn(int &k){
    int t=tr[k].l;tr[k].l=tr[t].r;tr[t].r=k;
    tr[t].s=tr[k].s;updata(k);k=t;
}
void insert(int &k,int x){
    if(!k){
        k=++cnt;tr[k].num=x;tr[k].s=1;tr[k].sum++;tr[k].rnd=rand();return ;
    }
    tr[k].s++;
    int &l=tr[k].l,&r=tr[k].r;
    if(x<tr[k].num){
        insert(l,x);
        if(tr[l].rnd<tr[k].rnd) rturn(k);
    }
    else if(x>tr[k].num){
        insert(r,x);
        if(tr[r].rnd<tr[k].rnd) lturn(k);
    }
    else{
        tr[k].sum++;return ;
    }
}
void del(int &k,int x){
    if(!k) return ;
    int &l=tr[k].l,&r=tr[k].r;
    if(x==tr[k].num){
        if(tr[k].sum>1){
            tr[k].sum--;tr[k].s--;return ;
        }
        if(l*r==0) k=l+r;
        else{
            if(tr[l].rnd<tr[r].rnd) rturn(k);
            else lturn(k);
            del(k,x);
        }
    }
    else{
        tr[k].s--;
        if(x>tr[k].num) del(r,x);
        else del(l,x);
    }
}
int find1(int &k,int x){
    if(!k) return 0;
    int &l=tr[k].l,&r=tr[k].r;
    if(tr[k].num==x) return tr[l].s+1;
    if(tr[k].num>x) return find1(l,x);
    if(tr[k].num<x) return tr[l].s+tr[k].sum+find1(r,x);
}
int find2(int &k,int x){
    if(!k) return 0;
    int &l=tr[k].l,&r=tr[k].r;
    if(tr[l].s+1<=x&&tr[l].s+tr[k].sum>=x) return tr[k].num;
    if(tr[l].s>=x) return find2(l,x);
    if(tr[l].s+tr[k].sum<x) return find2(r,x-tr[l].s-tr[k].sum);
}
void pred(int &k,int x){
    if(!k) return ;
    int &l=tr[k].l,&r=tr[k].r;
    if(tr[k].num<x){
        t1=tr[k].num;
        pred(r,x);
    }
    else pred(l,x);
}
void succ(int &k,int x){
    if(!k) return ;
    int &l=tr[k].l,&r=tr[k].r;
    if(tr[k].num>x){
        t2=tr[k].num;
        succ(l,x);
    }
    else succ(r,x);
}
int main(){
    srand(time(0));
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1,opt,x;i<=n;i++){
        scanf("%d%d",&opt,&x);t1=t2=0;
        switch(opt){
            case 1:insert(rt,x);break;
            case 2:del(rt,x);break;
            case 3:printf("%d
",find1(rt,x));break;
            case 4:printf("%d
",find2(rt,x));break;
            case 5:pred(rt,x);printf("%d
",t1);break;
            case 6:succ(rt,x);printf("%d
",t2);break;
        }
    }
    return 0;
}

无旋Treap的实现原理可以去看神犇fhq在wc上的ppt。

我大概讲下：用到了函数式编程的思想，所谓函数就是定义域+对应法则，所谓编程就是把输入映射成输出的函数。函数式编程从不修改任何东西，它只做一件事：定义。那么我们可以引申出函数式线段树（可持久化线段树），同理可以引申出函数式平衡树。但是平衡树需要旋转，很不方便，以treap为例，我们完全没必要旋转。只需用到两个操作：

　　1、merge：我们假设要把A、B两棵树合并（注意：中序遍历A<B，要保证合并后的树中序遍历满足该条件），若A、B一方为空返回另一方，若A的优先级大于B的优先级，则A作根递归合并A的右子树和B，否则B作根递归合并A和B的左子树。

　　2、split：我们假设把root为根的树按照小于等于权值k分为A、B两棵树，若当前节点val<=k则把其和左子树分给A并递归右子树，否则把其和右子树分给B并递归左子树。

有了这两个操作，其它操作都可以引申出来了（某些操作当然也可以像普通treap那样查）：

　　1、insert(x)，先split(x)，再把新节点与分离的两棵树二次merge。

　　2、delet(x)，先split(x)再split(x-1)，然后merge权值全为x的那棵树的左右子树。

　　3、rank(x)，先split(x-1)，排名就是权值小于等于x-1的那棵树的大小+1。

　　4、kth(x)，普通treap那样查。

　　5、pre(x)，先split(x-1)，再在权值小于等于x-1的那棵树中查kth(siz)。

　　6、suc(x)，先split(x)，再在权值大于x的那棵树中查kth(1)。　　

无旋Treap代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define il inline
#define ll long long
#define RE register
#define For(i,a,b) for(RE int (i)=(a);(i)<=(b);(i)++)
#define Bor(i,a,b) for(RE int (i)=(b);(i)>=(a);(i)--)
using namespace std;
const int N=100005;
int n,cnt,root;
int ch[N][2],date[N],rnd[N],siz[N];

int gi(){
    int a=0;char x=getchar();bool f=0;
    while((x<'0'||x>'9')&&x!='-') x=getchar();
    if(x=='-') x=getchar(),f=1;
    while(x>='0'&&x<='9') a=(a<<3)+(a<<1)+(x^48),x=getchar();
    return f?-a:a;
}

il int newnode(int v){
    cnt++;
    siz[cnt]=1,date[cnt]=v,rnd[cnt]=rand();
    return cnt;
}

il void pushup(int rt){siz[rt]=siz[ch[rt][0]]+siz[ch[rt][1]]+1;}

int merge(int x,int y){
    if(!x||!y) return x+y;
    if(rnd[x]<rnd[y]) {
        ch[x][1]=merge(ch[x][1],y);
        pushup(x);
        return x;
    }
    else {
        ch[y][0]=merge(x,ch[y][0]);
        pushup(y);
        return y;
    }
}

void split(int rt,int k,int &x,int &y){
    if(!rt) {x=y=0;return;}
    if(date[rt]<=k) x=rt,split(ch[rt][1],k,ch[rt][1],y);
    else y=rt,split(ch[rt][0],k,x,ch[rt][0]);
    pushup(rt);
}

il int kth(int rt,int k){
    while(1){
        if(k<=siz[ch[rt][0]]) rt=ch[rt][0];
        else if(k>siz[ch[rt][0]]+1) k-=siz[ch[rt][0]]+1,rt=ch[rt][1];
        else return rt;
    }
}

il void ins(int v){
    int x=0,y=0; split(root,v,x,y);
    root=merge(x,merge(newnode(v),y));
}

il void del(int v){
    int x=0,y=0,z=0; 
    split(root,v,x,z),split(x,v-1,x,y);
    y=merge(ch[y][0],ch[y][1]);
    root=merge(x,merge(y,z));
}

il int id(int v){
    int x=0,y=0,ans; split(root,v-1,x,y);
    ans=siz[x]+1; root=merge(x,y);
    return ans;
}

il int pre(int v){
    int x=0,y=0,ans; split(root,v-1,x,y);
    ans=date[kth(x,siz[x])]; root=merge(x,y);
    return ans; 
}

il int suc(int v){
    int x=0,y=0,ans; split(root,v,x,y);
    ans=date[kth(y,1)]; root=merge(x,y);
    return ans;
}

int main(){
    srand(time(0));
    n=gi();
    int opt,v;
    while(n--){
        opt=gi(),v=gi();
        if(opt==1) ins(v);
        if(opt==2) del(v);
        if(opt==3) printf("%d
",id(v));
        if(opt==4) printf("%d
",date[kth(root,v)]);
        if(opt==5) printf("%d
",pre(v));
        if(opt==6) printf("%d
",suc(v));
    }
    return 0;
}

用vector暴力模拟可以AC，总耗时也就比正解慢100ms左右

vector代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<set>
#include<vector>
#include<algorithm>
#define inf 1000000000
using namespace std;
inline int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
int n;
vector<int> a;
void insert(int x)
{
    a.insert(upper_bound(a.begin(),a.end(),x),x);
    return;
}
void del(int x)
{
    a.erase(lower_bound(a.begin(),a.end(),x));
    return;
}
int find(int x)
{
    return lower_bound(a.begin(),a.end(),x)-a.begin()+1;
}
int main()
{
    n=read();
    a.reserve(200000);
    int f,x;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        f=read();x=read();
        switch(f)
        {
        case 1:insert(x);break;
        case 2:del(x);break;
        case 3:printf("%d
",find(x));break;
        case 4:printf("%d
",a[x-1]);break;
        case 5:printf("%d
",*--lower_bound(a.begin(),a.end(),x));break;
        case 6:printf("%d
",*upper_bound(a.begin(),a.end(),x));break;
        }
    }
    return 0;
}

用pbds中的红黑树的AC实现代码（竟然比vector的暴力模拟还慢上100ms，贼有意思！）：

#include<bits/stdc++.h>
#include<ext/pb_ds/tree_policy.hpp>
#include<ext/pb_ds/assoc_container.hpp>
#define ll long long
#define il inline
using namespace std;
using namespace __gnu_pbds;
typedef tree<ll,null_type,less<ll>,rb_tree_tag,tree_order_statistics_node_update>t;
il int gi()
{
    int a=0;char x=getchar();bool f=0;
    while((x<'0'||x>'9')&&x!='-')x=getchar();
    if(x=='-')x=getchar(),f=1;
    while(x>='0'&&x<='9')a=a*10+x-48,x=getchar();
    return f?-a:a;
}
ll n,opt,x,ans;
int main()
{
    t T;
    n=gi();
    for(int i=1;i<=n;i++){
        opt=gi(),x=gi();
        if(opt==1)T.insert((x<<20)+i);
        if(opt==2)T.erase(T.lower_bound(x<<20));
        if(opt==3)printf("%lld
",T.order_of_key(x<<20)+1);
        if(opt==4){ans=*T.find_by_order(x-1),printf("%lld
",ans>>20);}
        if(opt==5){ans=*--T.lower_bound(x<<20),printf("%lld
",ans>>20);}
        if(opt==6){ans=*T.upper_bound((x<<20)+n),printf("%lld
",ans>>20);}

    }
    return 0;
}