• 埃拉托斯特尼筛法


    质数又称素数。指在一个大于1的自然数中,除了1和此整数自身外,没法被其他自然数整除的数。怎么判断n以内的哪些数是质数呢?

    埃拉托斯特尼筛法

    厄拉多塞是一位古希腊数学家,他在寻找素数时,采用了一种与众不同的方法:先将2-N的各数放入表中,然后在2的上面画一个圆圈,然后划去2的其他倍数;第一个既未画圈又没有被划去的数是3,将它画圈,再划去3的其他倍数;现在既未画圈又没有被划去的第一个数是5,将它画圈,并划去5的其他倍数……依次类推,一直到所有小于或等于N的各数都画了圈或划去为止。这时,表中画了圈的以及未划去的那些数正好就是小于 N的素数。
    如下图所示:
    埃拉托斯特尼筛法
    而其实迭代系数i不需要遍历到n-1为止,只需到√(n-1)即可。反证法:

    • 如果n-1不是质数,那么n-1可以化解成两个整数因子相乘,n-1=d1×d2。
    • 如果d1和d2均大于√(n-1),则有:n-1=d1×d2 > √(n-1)×√(n-1)=n-1
    • 则n-1必有因子d1或d2小于等于√(n-1),从而n-1可以被小于或等于√(n-1)的某整数的遍历到。
    • 小于n-1的整数如果是质数必然会被遍历到。

    如果N是合数,则一定存在大于1小于N的整数d1和d2,使得N=d1×d2。如果d1和d2均大于√N,则有:N=d1×d2>√N×√N=N。而这是不可能的,所以,d1和d2中必有一个小于或等于√N。
    代码如下:

    public class Solution {
        public int countPrimes(int n) {
            if(n <= 2)
                return 0;
            boolean[] prime = new boolean[n];
            for(int i =2; i < n; ++i) {
                prime[i] = true;
            }
            for(int i = 2; i <= Math.sqrt(n-1); ++i) { //i <= √(n-1) 即可
                if(prime[i]) {
                    for(int j = i + i;j < n; j += i) {
                        prime[j] = false;
                    }
                }
            }
            int count = 0;
            for(int i = 2; i < n; ++i) {
                if(prime[i])
                    count++;
            }
            return count;
        } 
    }
    

    其他方法

    任何一个自然数,总可以表示成为如下的形式之一:
    6N,6N+1,6N+2,6N+3,6N+4,6N+5 (N=0,1,2,…)
    N>1时,其中6N,6N+2,6N+3,6N+4必然不是质数,只可能是6N+1或者6N+5,即6N±1。因此可以通过6N±1筛子大量筛减非质数。

    参考:

    维基百科
    Leetcode 204 Count primes --csdn
    求质数--csdn

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/findwg/p/4901219.html
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