HDU 5647 DZY Loves Connecting 树形dp

题目链接：

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5647

题解：

令dp[u][0]表示u所在的子树中所有的包含i的集合数,设u的儿子为vi，则易知dp[u][0]=(dp[v1][0]+1)*...*(dp[vk][0]+1)。

令dp[u][1]表示u所在的子树中所有的包含i的集合数的大小的和，则有dp[u][1]=dp[u][1]*(dp[v][0]+1)+dp[v][1]*dp[u][0]；

其中dp[u][1]*(dp[v][0]+1)表示新引入v的（dp[v][0]+1）个组合的时候，左边已知的贡献值（dp[u][1]，即已知的包含节点i的集合数的大小的和）增倍之后的量。

dp[v][1]*dp[u][0]则与上面刚好反过来，考虑对于已知的dp[u][0]种集合数，儿子v的贡献值增倍后的量。

则最后的答案为dp[1][1]+...+dp[n][1]

ps: 如果还不明白dp[u][0],dp[u][1]表示的含义，可以用代码跑一下简单的样例，把它们都打印出来，应该会好理解一些。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;

const int maxn = 2e5 + 10;
const int mod = 1e9 + 7;
typedef long long LL;

struct Edge {
    int v, ne;
    Edge(int v, int ne) :v(v), ne(ne) {}
    Edge() {}
}egs[maxn];

int head[maxn], tot;
int n;

void addEdge(int u, int v) {
    egs[tot] = Edge(v, head[u]);
    head[u] = tot++;
}

LL dp[maxn][2];

void solve(int u) {
    dp[u][0] = dp[u][1] = 1;
    int p = head[u];
    while (p != -1) {
        Edge& e = egs[p];
        solve(e.v);
        dp[u][1] = (dp[u][1] * (dp[e.v][0] + 1) + dp[e.v][1] * dp[u][0]) % mod;
        dp[u][0] = dp[u][0] * (dp[e.v][0] + 1)%mod;
        p = e.ne;
    }
}

void init() {
    memset(head, -1, sizeof(head));
    tot = 0;
}

int main() {
    int tc;
    scanf("%d", &tc);
    while (tc--) {
        init();
        scanf("%d", &n);
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            int v;
            scanf("%d", &v);
            addEdge(v, i);
        }
        solve(1);
        LL ans = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            //printf("dp[%d][1]:%d
", i,dp[i][1]);
            ans += dp[i][1];
            ans %= mod;
        }
        printf("%lld
", ans);
    }
    return 0;
}

/*
1 //testcase
3
1
1
*/

 以下是按官方题解的思路写的代码，但是wa了，当(dp[u]+1)%mod==0的时候逆元就求不出来了。

这样写就t了，说明数据确实会出现这种情况

官方题解：

#pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000") 
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long LL;

const int maxn = 2e5 + 10;
const int mod = 1e9 + 7;

struct Edge {
    int v, ne;
    Edge(int v,int ne):v(v),ne(ne){}
    Edge(){}
}egs[maxn*2];

int head[maxn], tot;

void addEdge(int u, int v) {
    egs[tot] = Edge(v, head[u]);
    head[u] = tot++;
}

void gcd(LL a, LL b, LL &d, LL &x, LL &y) {
    if (!b) { d = a; x = 1; y = 0; }
    else { gcd(b, a%b, d, y, x); y -= x*(a / b); }
//    x = (x%mod + mod) % mod;
//    y = (y%mod + mod) % mod;
}

LL invMod(LL a, LL b) {
    LL d, x, y;
    gcd(a, b, d, x, y);
    return (x%mod+mod)%mod;
}

int n;
LL dp[maxn];
int fa[maxn];
//自底向上 
void dfs1(int u) {
    dp[u] = 1;
    int p = head[u];
    while (p != -1) {
        Edge& e = egs[p];
        dfs1(e.v);
        dp[u] *= (dp[e.v] + 1); dp[u] %= mod;
        p = e.ne;
    }
}
//自顶向下 
void dfs2(int u) {
    if (fa[u]) {
        LL tmp = dp[fa[u]] * invMod(dp[u] + 1, (LL)mod) % mod;
        dp[u] = dp[u] * (tmp + 1) % mod;
    }
    int p = head[u];
    while(p != -1) {
        Edge& e = egs[p];
        dfs2(e.v);
        p = e.ne;
    }
}

void init() {
    fa[1] = 0;
    memset(dp, 0, sizeof(dp));
    memset(head, -1, sizeof(head));
    tot = 0;
}

int main() {
//    freopen("data_in.txt", "r", stdin);
    int tc;
    scanf("%d", &tc);
    while (tc--) {
        scanf("%d", &n);
        init();
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            int x;
            scanf("%d", &x);
            addEdge(x, i);
            fa[i] = x;
        }
        dfs1(1);
        dfs2(1);
        LL ans = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            ans += dp[i]; ans %= mod;
        }
        printf("%lld
", ans);
    }
    return 0;
}
/*
*/

 但是！这种情况比较特殊，是可以单独处理一下的，对于节点u，如果在第一次dfs中它的儿子中有(dp[v]+1)%mod==0,那么说明在第一次dfs中dp[u]=0，也就是说dp[u]+1==1，u对它的父亲是没有贡献的！，那么在第二次dfs中，dp[u]实际保存的数就是整颗树中不包含u这颗子树的所有节点中包含u的父亲的集合的个数，所以只要算(dp[u]+1)*spec（spec表示v所有的兄弟的（dp[vi]+1)的乘积，不包含v本身），就可以了,具体看代码。

#pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000") 
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long LL;

const int maxn = 2e5 + 10;
const int mod = 1e9 + 7;

struct Edge {
    int v, ne;
    Edge(int v,int ne):v(v),ne(ne){}
    Edge(){}
}egs[maxn*2];

int head[maxn], tot;

void addEdge(int u, int v) {
    egs[tot] = Edge(v, head[u]);
    head[u] = tot++;
}

void gcd(LL a, LL b, LL &d, LL &x, LL &y) {
    if (!b) { d = a; x = 1; y = 0; }
    else { gcd(b, a%b, d, y, x); y -= x*(a / b); }
}
LL invMod(LL a, LL b) {
    LL d, x, y;
    gcd(a, b, d, x, y);
    return (x%mod+mod)%mod;
}

int n;
LL dp[maxn];
int fa[maxn];

void dfs1(int u) {
    dp[u] = 1;
    int p = head[u];
    while (p != -1) {
        Edge& e = egs[p];
        dfs1(e.v);
        dp[u] *= (dp[e.v] + 1); dp[u] %= mod;
        p = e.ne;
    }
}

void dfs2(int u,LL spec) {
    if (fa[u]) {
        LL tmp;
        if((dp[u]+1)%mod)
            tmp=dp[fa[u]] * invMod(dp[u] + 1, mod) % mod;
        else {
            tmp = (dp[fa[u]]+1) * spec % mod;
        }
        dp[u] = dp[u] * (tmp + 1) % mod;
    }
    int p = head[u]; spec = 1;
    int po = -1,flag=0;
    while(p != -1) {
        Edge& e = egs[p];
        if ((dp[e.v] + 1) % mod == 0) {
            if(po==-1) po = e.v;
            else {
                flag = 1;
                dfs2(e.v, 0);
            }
        }
        else {
            spec *= (dp[e.v] + 1); spec %= mod;
            dfs2(e.v, spec);
        }
        p = e.ne;
    }
    if (po!=-1) {
        if (!flag) dfs2(po, spec);
        else dfs2(po, 0);
    }
}

void init() {
    fa[1] = 0;
    memset(dp, 0, sizeof(dp));
    memset(head, -1, sizeof(head));
    tot = 0;
}

int main() {
    //freopen("data_in.txt", "r", stdin);
    int tc;
    scanf("%d", &tc);
    while (tc--) {
        scanf("%d", &n);
        init();
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            int x;
            scanf("%d", &x);
            addEdge(x, i);
            fa[i] = x;
        }
        dfs1(1);
        dfs2(1,0);
        LL ans = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            ans += dp[i]; ans %= mod;
        }
        printf("%lld
", ans);
    }
    return 0;
}
/*

*/