【bzoj4031】[HEOI2015]小Z的房间 Matrix-Tree定理+高斯消元

【bzoj4031】[HEOI2015]小Z的房间

2015年4月30日3,0302

Description

你突然有了一个大房子，房子里面有一些房间。事实上，你的房子可以看做是一个包含n*m个格子的格状矩形，每个格子是一个房间或者是一个柱子。在一开始的时候，相邻的格子之间都有墙隔着。

你想要打通一些相邻房间的墙，使得所有房间能够互相到达。在此过程中，你不能把房子给打穿，或者打通柱子（以及柱子旁边的墙）。同时，你不希望在房子中有小偷的时候会很难抓，所以你希望任意两个房间之间都只有一条通路。现在，你希望统计一共有多少种可行的方案。

Input

第一行两个数分别表示n和m。

接下来n行，每行m个字符，每个字符都会是’.’或者’*’，其中’.’代表房间，’*’代表柱子。

Output

 一行一个整数，表示合法的方案数 Mod 10^9

Sample Input

3 3
…
…
.*.

Sample Output

15

HINT

对于前100%的数据，n,m<=9

题解

 

题解：周东的那篇IOI国家集训队论文，

　　　就是对于每个点求出度数

　　　然后列出一个行列式，

　　　a[i][i]=du[i]

　　　对于边u,v

　　　则a[u][v]=-1

　　　然后高斯消元，答案就是主对角线的积。

#include<cstring>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>

#define N 107
#define mod 1000000000
#define ll long long
using namespace std;
const int xx[4]={-1,1,0,0};
const int yy[4]={0,0,-1,1};
inline int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}

int n,m,id;
char ch[N][N];
ll a[N][N],p[N][N];

int solve_sum_gaosi(int n)
{
    for (int i=1;i<=n;i++)
        for (int j=1;j<=n;j++)
            (a[i][j]+=mod)%=mod;
    ll ans=1,f=1;
    for (int i=1;i<=n;i++)//楂樻柉娑堝厓
    {
        for (int j=i+1;j<=n;j++)
        {
            ll A=a[i][i],B=a[j][i];
            while(B!=0)
            {
                ll t=A/B;A%=B;swap(A,B);
                for (int k=i;k<=n;k++)
                    a[i][k]=(a[i][k]-t*a[j][k]%mod+mod)%mod;
                for (int k=i;k<=n;k++)
                    swap(a[i][k],a[j][k]);
                f=-f;
            }
        }
        if (!a[i][i])return 0;
        (ans*=a[i][i])%=mod;
    }
    if (f==-1) return (mod-ans)%mod;
    else return ans;
}
int main()
{
    int n=read(),m=read();
    for (int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%s",ch[i]+1);
    for (int i=1;i<=n;i++)
        for (int j=1;j<=m;j++)
            if (ch[i][j]=='.')p[i][j]=++id;
    for (int i=1;i<=n;i++)
        for (int j=1;j<=m;j++)
            if (ch[i][j]=='.')
                for (int k=0;k<4;k++)
                {
                    int x=i+xx[k],y=j+yy[k];
                    if (x<1||y<1||x>n||y>m||ch[x][y]!='.')continue;
                    int u=p[i][j],v=p[x][y];
                    a[u][u]++,a[u][v]--;
                }
    /*for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        for (int j=1;j<=n;j++)
            cout<<a[i][j]<<" ";
        cout<<endl;    
    }*/
    printf("%d
",(solve_sum_gaosi(id-1)+mod)%mod);//鐩存帴鑷�潃鏈€鍚庝竴琛屽嵆鍙?
}