博弈 Nim问题 POJ2234

定义：

　　　通常的Nim游戏的定义是这样的：有若干堆石子，每堆石子的数量都是有限的，合法的移动是

　　　“选择一堆石子并拿走若干颗（不能不拿）”，如果轮到某个人时所有的石子堆都已经被拿空了，

　　　则判负（因为他此刻没有任何合法的移动）。

　　　

　　　

游戏状态只分两种：当前先手必胜，当前先手必败；前者称为N位置，后者称为P位置；

更为严谨的定义是：

终止状态是P位置；

能够移动到P位置的状态时N位置；

只能到N位置的状态时P位置；

 

Nim问题的结论：

(Bouton's Theorem)对于一个Nim游戏的局面(a1,a2,...,an)，它是P-position当且仅当a1^a2^...^an=0。

这个定理的证明却也不复杂，基本上就是按照两种position的证明来的。

 

证明：

根据定义，证明一种判断position的性质的方法的正确性，

只需证明三个命题：

　　1、这个判断将所有terminal position判为P-position；因为终止位置只有一个

　　2、根据这个判断被判为N-position的局面一定可以移动到某个P-position；

　　3、根据这个判断被判为P-position的局面无法移动到某个P-position。重要

 

第一个命题显然，terminal position只有一个，就是全0，异或仍然是0。

第二个命题，对于某个局面(a1,a2,...,an)，若a1^a2^...^an<>0，一定存在某个合法的移动，将ai改变成ai'后满足a1^a2^...^ai'^...^an=0。不妨设a1^a2^...^an=k，则一定存在某个ai，它的二进制表示在k的最高位上是1（否则k的最高位那个1是怎么得到的）。这时ai^k<ai一定成立。则我们可以将ai改变成ai'=ai^k，此时a1^a2^...^ai'^...^an=a1^a2^...^an^k=0。

第三个命题，对于某个局面(a1,a2,...,an)，若a1^a2^...^an=0，一定不存在某个合法的移动，将ai改变成ai'后满足a1^a2^...^ai'^...^an=0。因为异或运算满足消去率，由a1^a2^...^an=a1^a2^...^ai'^...^an可以得到ai=ai'。所以将ai改变成ai'不是一个合法的移动。证毕。

根据这个定理，我们可以在O(n)的时间内判断一个Nim的局面的性质，且如果它是N-position，也可以在O(n)的时间内找到所有的必胜策略。Nim问题就这样基本上完美的解决了。

 

对于poj这道题目，就是裸题了。

#include<cstring>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>

using namespace std;

int n;

int main()
{
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        int res=0,x;
        for (int i=1;i<=n;i++)
            scanf("%d",&x),res^=x;
        if (res) printf("Yes
");
        else printf("No
");    
    }
}