数据结构 之 '树'

树

定义

树（Tree）是n（n>=0)个结点的有限集。n=0时称为空树。在任意一颗非空树中：
1）有且仅有一个特定的称为根（Root）的结点；
2）当n>1时，其余结点可分为m(m>0)个互不相交的有限集T1、T2、......、Tn，其中每一个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树。

此外，树的定义还需要强调以下两点：
1）n>0时根结点是唯一的，不可能存在多个根结点，数据结构中的树只能有一个根结点。
2）m>0时，子树的个数没有限制，但它们一定是互不相交的。
示例树：

图1.1

由树的定义可以看出，树的定义使用了递归的方式。递归在树的学习过程中起着重要作用，如果对于递归不是十分了解，建议先看看递归算法

结点的度

结点拥有的子树数目称为结点的度。
图1.2中标注了图1.1所示树的各个结点的度。

图1.2 度示意图

结点关系

结点子树的根结点为该结点的孩子结点。相应该结点称为孩子结点的双亲结点。
图1.2中，A为B的双亲结点，B为A的孩子结点。
同一个双亲结点的孩子结点之间互称兄弟结点。
图1.2中，结点B与结点C互为兄弟结点。

结点层次

从根开始定义起，根为第一层，根的孩子为第二层，以此类推。
图1.3表示了图1.1所示树的层次关系

图1.3 层示意图

树的深度

树中结点的最大层次数称为树的深度或高度。图1.1所示树的深度为4。

二叉树

定义

二叉树是n(n>=0)个结点的有限集合，该集合或者为空集（称为空二叉树），或者由一个根结点和两棵互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树组成。
图2.1展示了一棵普通二叉树：

图2.1 二叉树

二叉树特点

由二叉树定义以及图示分析得出二叉树有以下特点：
1）每个结点最多有两颗子树，所以二叉树中不存在度大于2的结点。
2）左子树和右子树是有顺序的，次序不能任意颠倒。
3）即使树中某结点只有一棵子树，也要区分它是左子树还是右子树。

二叉树性质

1）在二叉树的第i层上最多有2i-1 个节点 。（i>=1）
2）二叉树中如果深度为k,那么最多有2k-1个节点。(k>=1）
3）n0=n2+1 n0表示度数为0的节点数，n2表示度数为2的节点数。
4）在完全二叉树中，具有n个节点的完全二叉树的深度为[log2n]+1，其中[log2n]是向下取整。
5）若对含 n 个结点的完全二叉树从上到下且从左至右进行 1 至 n 的编号，则对完全二叉树中任意一个编号为 i 的结点有如下特性：

(1) 若 i=1，则该结点是二叉树的根，无双亲, 否则，编号为 [i/2] 的结点为其双亲结点;
(2) 若 2i>n，则该结点无左孩子， 否则，编号为 2i 的结点为其左孩子结点；
(3) 若 2i+1>n，则该结点无右孩子结点， 否则，编号为2i+1 的结点为其右孩子结点。

斜树

斜树：所有的结点都只有左子树的二叉树叫左斜树。所有结点都是只有右子树的二叉树叫右斜树。这两者统称为斜树。

图2.2 左斜树

图2.3 右斜树

满二叉树

满二叉树：在一棵二叉树中。如果所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层上，这样的二叉树称为满二叉树。
满二叉树的特点有：
1）叶子只能出现在最下一层。出现在其它层就不可能达成平衡。
2）非叶子结点的度一定是2。
3）在同样深度的二叉树中，满二叉树的结点个数最多，叶子数最多。

图2.4 满二叉树

完全二叉树

完全二叉树：对一颗具有n个结点的二叉树按层编号，如果编号为i(1<=i<=n)的结点与同样深度的满二叉树中编号为i的结点在二叉树中位置完全相同，则这棵二叉树称为完全二叉树。
图2.5展示一棵完全二叉树

图2.5 完全二叉树

特点：
1）叶子结点只能出现在最下层和次下层。
2）最下层的叶子结点集中在树的左部。
3）倒数第二层若存在叶子结点，一定在右部连续位置。
4）如果结点度为1，则该结点只有左孩子，即没有右子树。
5）同样结点数目的二叉树，完全二叉树深度最小。
注：满二叉树一定是完全二叉树，但反过来不一定成立。

二叉树的存储结构

顺序存储

二叉树的顺序存储结构就是使用一维数组存储二叉树中的结点，并且结点的存储位置，就是数组的下标索引。

图2.6

图2.6所示的一棵完全二叉树采用顺序存储方式，如图2.7表示：

图2.7 顺序存储

由图2.7可以看出，当二叉树为完全二叉树时，结点数刚好填满数组

Python实现二叉树的深广度遍历

---

class Node(object):
    """
    封装节点
    """
    def __init__(self, item):
        # 根节点
        self.item = item
        # 左叶子节点
        self.left = None
        # 右叶子节点
        self.right = None


class Tree(object):
    def __init__(self):
        """
        初始化一个空树
        """
        self.root = None

    def addNode(self, item):
        """
        添加节点
        :param item:
        :return:
        """
        node = Node(item)
        if self.root == None:
            self.root = node
            return
        cur = self.root
        q_list = [cur]

        while True:
            first_item = q_list.pop(0)
            if first_item.left != None:
                q_list.append(first_item.left)
            else:
                first_item.left = node
                break

            if first_item.right != None:
                q_list.append(first_item.right)
            else:
                first_item.right = node
                break

    def travel(self):
        """
        广度遍历
        :return:
        """
        cur = self.root
        q_list = [cur]
        while q_list:
            first_item = q_list.pop(0)
            print(first_item.item)
            if first_item.left != None:
                q_list.append(first_item.left)

            if first_item.right != None:
                q_list.append(first_item.right)

    def forward(self, root):
        """
        深度遍历（前序遍历 —— 根左右）
        :param root: 子树的根节点
        :return:
        """
        if root == None:
            return
        print(root.item)
        self.forward(root.left)
        self.forward(root.right)

    def middle(self, root):
        """
        深度遍历（中序遍历 —— 左根右）
        :param root: 子树的根节点
        :return:
        """
        if root == None:
            return
        self.middle(root.left)
        print(root.item)
        self.middle(root.right)

    def back(self, root):
        """
        深度遍历（后序遍历 —— 左右根）
        :param root: 子树的根节点
        :return:
        """
        if root == None:
            return
        self.back(root.left)
        self.back(root.right)
        print(root.item)


if __name__ == '__main__':
    tree = Tree()
    for i in range(1, 16):
        tree.addNode(i)

    # tree.travel()

    # tree.forward(tree.root)
    # tree.middle(tree.root)
    # tree.back(tree.root)

排序二叉树

具有下列性质的二叉树：

（1）若左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；

（2）若右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；

（3）左、右子树也分别为二叉排序树；

（4）没有键值相等的结点。

中序遍历作用在排序二叉树中，遍历的结果为有序！

class Node(object):
    def __init__(self, item):
        self.item = item
        self.left = None
        self.right = None


class SortTree(object):
    def __init__(self):
        self.root = None

    def add(self, item):
        node = Node(item)
        if self.root == None:
            self.root = node
            return

        cur = self.root
        while True:
            if cur.item < item:
                if cur.right == None:
                    cur.right = node
                    break
                else:
                    cur = cur.right

            else:
                if cur.left == None:
                    cur.left = node
                    break
                else:
                    cur = cur.left

    def middle(self, root):
        if root == None:
            return
        self.middle(root.left)
        print(root.item)
        self.middle(root.right)


if __name__ == '__main__':
    tree = SortTree()
    for i in [2, 5, 7, 1, 3, 8, 4, 10]:
        tree.add(i)

    tree.middle(tree.root)
    
    
# 1
# 2
# 3
# 4
# 5
# 7
# 8
# 10