冯娟的第三次作业

参考书习题：

              

           解:

              a_i=i 得到序列a₁a₁a₃a₂a₃a₁ 的实值标签就是求序列113231的实值标签。

              设上界 u⁽⁰⁾ =1,  下界 l⁽⁰⁾=0，符号集A={a₁，a₂，a₃}，且P(a₁)=0.2，P(a₂)=0.3，P(a₃)=0.5

              由于P(x=i)=P(a_i)，所以P(x=1)=P(a₁)=0.2，   P(x=2)= P(a₂)=0.3，  P(x=3)=P(a₃)=0.5.

              Fx(0)=0, 

             F_x(1)=P(a₀)+ P(a₁)=0.2,

             F_x(2)=P(a₁)+ P(a₂)=0.5,

             F_x(3)=P(a₁)+ P(a₂)+P(a₃)=1

             又由于u^(k)=l^(k-1)+(u^(k-1)-l^(k-1))*F_x(x_k)

             l^(k)=l^(k-1)+(u^(k-1)-l^(k-1))*F_x(x_k-1)

             根据上面的递推公式得到的结果如下：

            该序列的第一个元素为1

                    u⁽¹⁾=l⁽⁰⁾+(u⁽⁰⁾-l⁽⁰⁾)*F_x(1)=0+(1-0)*0.2=0.2

                     l⁽¹⁾=l⁽⁰⁾+(u⁽⁰⁾-l⁽⁰⁾)*F_x(0)=0+(1-0)*0=0

          所以该标签的区间[0,0.2)

         该序列的第二个元素为1

                   u⁽²⁾=l⁽¹⁾+(u⁽¹⁾-l⁽¹⁾)*F_x(1)=0+(0.2-0)*0.2=0.04

                    l⁽²⁾=l⁽¹⁾+(u⁽¹⁾-l⁽¹⁾)*F_x(0)=0+(0.2-0)*0=0

         所以序列1 1标签的区间[0，0.04)

        该序列的第三个元素为3

                u⁽³⁾=l⁽²⁾+(u⁽²⁾-l⁽²⁾)*F_x(3)=0+(0.04-0)*1 =0.04

                l⁽³⁾=l⁽²⁾+(u⁽²⁾-l⁽²⁾)*F_x(2)=0+(0.04-0)*0.5=0.02

        所以该序列标签的区间[0.02，0.04)

       该序列的第四个元素为2

            u⁽⁴⁾=l⁽³⁾+(u⁽³⁾-l⁽³⁾)*F_x(2)=0.02+(0.04-0.02)*0.5 =0.03

             l⁽⁴⁾=l⁽³⁾+(u⁽³⁾-l⁽³⁾)*F_x(1)=0.02+(0.04-0.02)*0.2=0.024

      所以序列2 3标签的区间[0.024，0.03)

     该序列的第五个元素为3

          u⁽⁵⁾=l⁽⁴⁾+(u⁽⁴⁾-l⁽⁴⁾)*F_x(3)=0.024+(0.03-0.024)*1=0.03

           l⁽⁵⁾=l⁽⁴⁾+(u⁽⁴⁾-l⁽⁴⁾)*F_x(2)=0.024+(0.03-0.024)*0.5=0.027

     所以该序列标签的区间[0.027，0.03)

    该序列的第六个元素为1

         u⁽⁶⁾=l⁽⁵⁾+(u⁽⁵⁾-l⁽⁵⁾)*F_x(1)=0.027+(0.03-0.027)*0.2=0.0276

          l⁽⁶⁾=l⁽⁵⁾+(u⁽⁵⁾-l⁽⁵⁾)*F_x(0)=0.027+(0.03-0.027)*0=0.027

    所以该序列标签的区间[0.027，0.0276)

    综上可得序列a₁a₁a₃a₂a₃a₁ 的实值标签为：

                                                       T_x(113231)= ( u⁽⁶⁾ + l⁽⁶⁾   )/2

                                                                       =(0.0276+0.027)/2

                                                                       =0.0273

6、对于表4-9所示的概率模型，对于一个标签为0.63215699的长度为10的序列进行解码。

解：

       F_X（k）=0，k<=0，F_X（1）=P（a₁）=0.2，F_X（2）=P（a₁）+P（a₂）=0.2+0.3=0.5，

       F_X（3）=P（a₁）+P（a₂）+P（a₃）=0.2+0.3+0.5=1，F_X（k）=1，k>3，

    确定标签的上下界，将l^（0）初始化为0，u^（0）初始化为1，

      u^（1）=l^（0）+（u^（0）-l^（0））*F_X（X₁）=0+（1-0）* F_X（X₁）= F_X（X₁）

      l^（1）=l^（0）+（u^（0）-l^（0））*F_X（X₁-1）=0+（1-0）* F_X（X₁-1）= F_X（X₁-1）

     若X₁=1，F_X（X₁）=0.2，F_X（X₁-1）=0，则该标签所在区间为[0,0.2）；

     若X₁=2，F_X（X₁）=0.5，F_X（X₁-1）=0.2，则该标签所在区间为[0.2,0.5）；

     若X₁=3，F_X（X₁）=1，F_X（X₁-1）=0.5，则该标签所在区间为[0.5，1）。

     因为0.63215699在区间[0.5，1）中，所以X₁=3，l^（1）=0..5，u^（1）=1，该序列的第一个元素为a₃

     u^（2）=l^（1）+（u^（1）-l^（1））*F_X（X₂）=0.5+（1-0.5）* F_X（X₂）=0.5+0.5 * F_X（X₂）

     l^（2）=l^（1）+（u^（1）-l^（1））*F_X（X₂-1）=0.5+（1-0.5）* F_X（X₂-1）=0.5+0.5* F_X（X₂-1）

     若X₂=1，F_X（X₂）=0.2，F_X（X₂-1）=0，则该标签所在区间为[0.5,0.6）；

     若X₂=2，F_X（X₂）=0.5，F_X（X₂-1）=0.2，则该标签所在区间为[0.6,0.75）；

     若X₂=3，F_X（X₂）=1，F_X（X₂-1）=0.5，则该标签所在区间为[0.75,1）；

     因为0.63215699在区间[0.6,0.75）中，所以X₁=2，l^（2）=0.6，u^（2）=0.75，该序列的第二个元素为a₂

     u^（3）=l^（2）+（u^（2）-l^（2））*F_X（X₃）=0.6+（0.75-0.6）* F_X（X₃）=0.6+0.15 * F_X（X₃）

     l^（3）=l^（2）+（u^（2）-l^（2））*F_X（X₃-1）=0.6+（0.75-0.6）* F_X（X₃-1）=0.6+0.15 * F_X（X₃-1）

    若X₃=1，F_X（X₃）=0.2，F_X（X₃-1）=0，则该标签所在区间为[0.6,0.63）；

    若X₃=2，F_X（X₃）=0.5，F_X（X₃-1）=0.2，则该标签所在区间为[0.63,0.675）；

    若X₃=3，F_X（X₃）=1，F_X（X₃-1）=0.5，则该标签所在区间为[0.675,0.75）；

    因为0.63215699在区间[0.675,0.75）中，所以X₃=2，l^（3）=0.63，u^（3）=0.675，该序列的第三个元素为a₂

    u^（4）=l^（3）+（u^（3）-l^（3））*F_X（X₄）=0.63+（0.675-0.63）* F_X（X₄）=0.63+0.045 * F_X（X₄）

    l^（4）=l^（3）+（u^（3）-l^（3））*F_X（X₄-1）=0.63+（0.675-0.63）* F_X（X₄-1）=0.63+0.045 * F_X（X₄-1）

   若X₄=1，F_X（X₄）=0.2，F_X（X₄-1）=0，则该标签所在区间为[0.63,0.639）；

   若X₄=2，F_X（X₄）=0.5，F_X（X₄-1）=0.2，则该标签所在区间为[0.639,0.6525）；

   若X₄=3，F_X（X₄）=1，F_X（X₄-1）=0.5，则该标签所在区间为[0.6525,0.675）；

   因为0.63215699在区间[0.63,0.639）中，所以X₄=1，l^（4）=0.63，u^（4）=0.639，该序列的第四个元素为a₁

    u^（5）=l^（4）+（u^（4）-l^（4））*F_X（X₅）=0.63+（0.639-0.63）* F_X（X₅）=0.63+0.009 * F_X（X₅）

    l^（5）=l^（4）+（u^（4）-l^（4））*F_X（X₅-1）=0.63+（0.639-0.63）* F_X（X₅-1）=0.63+0.009 * F_X（X₅-1）

   若X₅=1，F_X（X₅）=0.2，F_X（X₅-1）=0，则该标签所在区间为[0.63,0.6318）；

   若X₅=2，F_X（X₅）=0.5，F_X（X₅-1）=0.2，则该标签所在区间为[0.6318,0.6345）；

   若X₅=3，F_X（X₅）=1，F_X（X₅-1）=0.5，则该标签所在区间为[0.6345,0.639）；

   因为0.63215699在区间[0.6318,0.6345）中，所以X₅=2，l ^（5）=0.6318，u^（5）=0.6345，该序列的第五个元素为a₂

   u^（6）=l^（5）+（u^（5）-l^（5））*F_X（X₆）=0.6318+（0.6345-0.6318）* F_X（X₆）=0.6318+0.0027 * F_X（X₆）

   l^（6）=l^（5）+（u^（5）-l^（5））*F_X（X₆-1）=0.6318+（0.6345-0.6318）* F_X（X₆-1）=0.6318+0.0027 * F_X（X₆-1）

   若X₆=1，F_X（X₆）=0.2，F_X（X₆-1）=0，则该标签所在区间为[0.6318,0.63234）；

   若X₆=2，F_X（X₆）=0.5，F_X（X₆-1）=0.2，则该标签所在区间为[0.63234,0.63315）；

   若X₆=3，F_X（X₆）=1，F_X（X₆-1）=0.5，则该标签所在区间为[0.63315,0.6345）；

   因为0.63215699在区间[0.6318,0.63234）中，所以X₆=1，l ^（6）=0.6318，u^（6）=0.63234，该序列的第六个元素为a₁

   u^（7）=l^（6）+（u^（6）-l^（6））*F_X（X₇）=0.6318+（0.63234-0.6318）* F_X（X₇）=0.6318+0.00054 * F_X（X₇）

   l^（7）=l^（6）+（u^（6）-l^（6））*F_X（X₇-1）=0.6318+（0.63234-0.6318）* F_X（X₇-1）=0.6318+0.00054 * F_X（X₇-1）

   若X₇=1，F_X（X₇）=0.2，F_X（X₇-1）=0，则该标签所在区间为[0.6318,0.631908）；

   若X₇=2，F_X（X₇）=0.5，F_X（X₇-1）=0.2，则该标签所在区间为[0.631908,0.63207）；

   若X₇=3，F_X（X₇）=1，F_X（X₇-1）=0.5，则该标签所在区间为[0.63207,0.63234）；

   因为0.63215699在区间[0.63207,0.63234）中，所以X₇=3，l ^（7）=0.63207，u^（7）=0.63234，该序列的第七个元素为a₃

    u^（8）=l^（7）+（u^（7）-l^（7））*F_X（X₈）=0.63207+（0.63234-0.63207）* F_X（X₈）=0.63207+0.00027 * F_X（X₈）

    l^（8）=l^（7）+（u^（7）-l^（7））*F_X（X₈-1）=0.63207+（0.63234-0.63207）* F_X（X₈-1）=0.63207+0.00027 * F_X（X₈-1）

   若X₈=1，F_X（X₈）=0.2，F_X（X₈-1）=0，则该标签所在区间为[0.63207,0.632124）；

   若X₈=2，F_X（X₈）=0.5，F_X（X₈-1）=0.2，则该标签所在区间为[0.632124,0.632205）；

   若X₈=3，F_X（X₈）=1，F_X（X₈-1）=0.5，则该标签所在区间为[0.632205,0.63234）；

   因为0.63215699在区间[0.632124,0.632205）中，所以X₈=3，l ^（8）=0.632124，u^（8）=0.632205，该序列的第八个元素为a₃

   u^（9）=l^（8）+（u^（8）-l^（8））*F_X（X₉）=0.632124+（0.632205-0.632124）* F_X（X₉）=0.632124+0.000081 * F_X（X₉）

    l^（9）=l^（8）+（u^（8）-l^（8））*F_X（X₉-1）=0.632124+（0.632205-0.632124）* F_X（X₉-1）=0.632124+0.000081* F_X（X₉-1）

    若X₉=1，F_X（X₉）=0.2，F_X（X₉-1）=0，则该标签所在区间为[0.632124,0.6321402）；

    若X₉=2，F_X（X₉）=0.5，F_X（X₉-1）=0.2，则该标签所在区间为[0.6321402,0.6321645）；

    若X₉=3，F_X（X₉）=1，F_X（X₉-1）=0.5，则该标签所在区间为[0.6321645,0.632205）；

    因为0.63215699在区间[0.6321402,0.6321645）中，所以X₉=2，l ^（9）=0.6321402，u^（9）=0.6321645，该序列的第九个元素为a₂

    u^（10）=l^（9）+（u^（9）-l^（9））*F_X（X₁₀）=0.6321402+（0.6321645-0.6321402）* F_X（X₁₀）=0.6321402+0.0000243 * F_X（X₁₀）

    l^（10）=l^（9）+（u^（9）-l^（9））*F_X（X₁₀-1）=0.6321402+（0.6321645-0.6321402）* F_X（X₁₀-1）=0.6321402+0.0000243 * F_X（X₁₀-1）

   若X₁₀=1，F_X（X₁₀）=0.2，F_X（X₁₀-1）=0，则该标签所在区间为[0.6321402, 0.63214506）；

   若X₁₀=2，F_X（X₁₀）=0.5，F_X（X₁₀-1）=0.2，则该标签所在区间为[0.63214506, 0.63215235）；

  若X₁₀=3，F_X（X₁₀）=1，F_X（X₁₀-1）=0.5，则该标签所在区间为[0.63215235,0.6321645）；

  因为0.63215699在区间[0.63215235,0.6321645）中，所以X₁₀=3，l ^（10）=0.63215235，u^（10）=0.6321645，该序列的第十个元素为:a₃

  所以该序列为a₃a₂a₂a₁a₂a₁a₃a₂a₂a₃