二叉查找树
本文使用Go语言进行描述
1) 二叉树创建
有如下数列，创建一颗二叉查找树
{50,22,30,16,18,43,56, 112,91,32,71,28}使用如下的规则进行创建：
0)没有键值相等的结点
1)如果要插入的节点键值比当前节点小，则插入到当前节点的左子树，否则插入到当前节点的右子树
首先，定义二叉树节点的数据结构
type BNode struct{ key int value string lt, rt *BNode }
向二叉树添加新节点的操作如下
func add_node(node *BNode, key int) (*BNode) { if nil == node { var n BNode n.key = key node = &n } else if node.key > key { node.lt = add_node(node.lt, key) } else { node.rt = add_node(node.rt, key) } return node }
所以建立二叉查找树的过程如下
func main(){ list := []int {50,22,30,16,18,43,56, 112,91,32,71,28} var root * BNode = nil for _, v := range list { root = add_node(root, v); } }
其中 BNode 结构中的 value 没有被使用。
2) 二叉树遍历
二叉树建立好了，但是是存在于内存中，怎样才能知道创建的没问题呢？
我们知道，对于一棵二叉树，其(中根遍历 + 先根遍历)，或者(中根遍历 + 后根遍历) 可以逆向推导出二叉树的结构。 所以接下来，我们要对二叉树进行一次中根遍历和一次先根遍历，并通过这两组数据验证下二叉树结构。
先根遍历的代码如下：
func pre_list(node *BNode) { if nil == node { return } fmt.Printf("%d ", node.key); pre_list(node.lt) pre_list(node.rt) }
中根遍历的代码如下：
func mid_list(node *BNode) { if nil == node { return } mid_list(node.lt) show_node(node) mid_list(node.rt) }
主函数代码如下：
func main(){ list := []int {50,22,30,16,18,43,56, 112,91,32,71,28} var root * BNode = nil for _, v := range list { root = add_node(root, v); } pre_list(root) fmt.Fprintf(os.Stderr, " ") mid_list(root); fmt.Fprintf(os.Stderr, " ") }
执行结果如下：
$ go run make_b_tree.go 50 22 16 18 30 28 43 32 56 112 91 71 16 18 22 28 30 32 43 50 56 71 91 112
我们可以根据上面的结果动手在纸上画一下，看看有没有创建成功。呵呵，开个玩笑。后面会讲如何重建二叉树。
3) 画出二叉树
除了动手画出来，我们还可以借助一些工具把它画出来，比如 Graphviz 。
下面这段代码是使用先根遍历的方法画出二叉树的代码，其作用是输出一段 dot 脚本。
func show_dot_node(node *BNode){ if nil == node { return } fmt.Printf(" %d[label="<f0> | <f1> %d | <f2> "]; ", node.key, node.key) } func show_dot_line(from , to *BNode, tag string) { if nil == from || nil == to { return } fmt.Printf(" %d:%s -> %d:f1; ", from.key, tag, to.key) } func show_list(node * BNode) { if nil == node { return } show_dot_node(node) show_dot_line(node, node.lt, "f0:sw") show_dot_line(node, node.rt, "f2:se") show_list(node.lt) show_list(node.rt) } func make_dot(root * BNode) { fmt.Printf("digraph G{ node[shape=record,style=filled,color=cadetblue3,fontcolor=white]; ") show_list(root) fmt.Printf("} ") }
主函数则变更如下：
func main(){ list := []int {50,22,30,16,18,43,56, 112,91,32,71,28} var root * BNode = nil for _, v := range list { root = add_node(root, v); } make_dot(root); }
执行结果如下：
digraph G{ node[shape=record,style=filled,color=cadetblue3,fontcolor=white]; 50[label="<f0> | <f1> 50 | <f2> "]; 50:f0:sw -> 22:f1; 50:f2:se -> 56:f1; 22[label="<f0> | <f1> 22 | <f2> "]; 22:f0:sw -> 16:f1; 22:f2:se -> 30:f1; 16[label="<f0> | <f1> 16 | <f2> "]; 16:f2:se -> 18:f1; 18[label="<f0> | <f1> 18 | <f2> "]; 30[label="<f0> | <f1> 30 | <f2> "]; 30:f0:sw -> 28:f1; 30:f2:se -> 43:f1; 28[label="<f0> | <f1> 28 | <f2> "]; 43[label="<f0> | <f1> 43 | <f2> "]; 43:f0:sw -> 32:f1; 32[label="<f0> | <f1> 32 | <f2> "]; 56[label="<f0> | <f1> 56 | <f2> "]; 56:f2:se -> 112:f1; 112[label="<f0> | <f1> 112 | <f2> "]; 112:f0:sw -> 91:f1; 91[label="<f0> | <f1> 91 | <f2> "]; 91:f0:sw -> 71:f1; 71[label="<f0> | <f1> 71 | <f2> "]; }
我们把这段 dot 代码写入文件，btree.gv ，执行如下命令：
dot -Tpng -obtree.png btree.gv
成功的话，则会生成 btree.png 图片，如下所示：
4) 重建二叉树
下面根据我们得到的(中根遍历)和(先根遍历)来重建二叉树，两组数据如下：
pre : 50 22 16 18 30 28 43 32 56 112 91 71 mid : 16 18 22 28 30 32 43 50 56 71 91 112
重建规则如下：
0）没有重复的数字
1）从(先根遍历)的数组 pre_list 中取开头的第一个数字A=pre_list[0]， 这个数 A 就是这个数组所组成的树BT的树根
2）从(中根遍历)的数组 mid_list 中找到第 1）步的数字A。 在mid_list中，所有在 A 左边的数字都属于 BT 的左子树lt， 所有在 A 右边的数字，都属于 BT 的的右子树rt。
3）递归解析lt和rt两组数字
重建二叉树的代码如下：
定义二叉树节点结构和辅助函数：
type BNode struct{ key int value string lt, rt *BNode } func show_node(node * BNode) { if nil == node { return } fmt.Fprintf(os.Stderr, "%d ", node.key) } func pre_list(root *BNode) { if nil == root { return } show_node(root) pre_list(root.lt) pre_list(root.rt) } func mid_list(root *BNode) { if nil == root { return } mid_list(root.lt) show_node(root) mid_list(root.rt) }
重建二叉树
//查找一个数字在数列中的位置： func get_num_pos(list []int, num int) (int) { var pos int = -1 for i, v := range list { if num == v { pos = i break } } return pos; } //递归建树 func rebuild_tree(tree * BNode, pre, mid []int) (* BNode) { if len(pre) <= 0 || len(mid) <= 0 { return tree } //(先根遍历)的第一个数字就是这棵树的树根 root := pre[0] var pos int if pos = get_num_pos(mid, root); pos < 0 { return tree } if nil == tree { var n BNode n.key = root tree = &n } //重建左子树 tree.lt = rebuild_tree(tree.lt, pre[1 : 1 + pos], mid[:pos]) //重建右子树 tree.rt = rebuild_tree(tree.rt, pre[1 + pos :], mid[pos + 1:]) return tree } func main() { pre := []int {50, 22, 16, 18, 30, 28, 43, 32, 56, 112, 91, 71} mid := []int {16, 18, 22, 28, 30, 32, 43, 50, 56, 71, 91, 112} tree := rebuild_tree(nil, pre, mid) //重建后再进行一次(先根遍历)和一次(中根遍历)，检查输出结果是否和我们输入的相同。 pre_list(tree) fmt.Fprintf(os.Stderr, " ") mid_list(tree) fmt.Fprintf(os.Stderr, " ") }
执行代码如下：
$ go run rbulid_binary_tree.go 50 22 16 18 30 28 43 32 56 112 91 71 16 18 22 28 30 32 43 50 56 71 91 112
看样子结果相同 ~.~
5) 算法复杂度分析
接下来分析下二叉查找树的空间复杂度和时间复杂度。
5.1)空间复杂度
空间复杂度比较好分析。我们在建树的时候，是不是需要对每一个数据申请一次内存呢。 每个数据一次，那就是有多少数据，就要申请多少次，有n个数据就要 申请n次， 所以空间光是申请用于存放数据的内存次数就是n，这个和数据的规模是正相关的， 并且关系是O(x * n)，其中x是每个数据占用的内存数量。因为这个x在数据结构不变的情况下是不变的， 是不会随着数据规模而变化的，那就可以忽略，因为x是个常数，与n无关。 所以只是申请存放数据的空间的空间复杂度为O(n)。
那还有什么地方需要空间呢？就是递归的时候，需要栈空间。 树每深一层，就需要递归一次，也就需要保存一次栈空间。 在平均情况下，树的深度是lgN。但是在极端情况下，树的深度可是N啊。请看下面的图。
a树就是最差的树，这哪儿还像是一棵树啊，基本就是链表了；而b树就是一棵好树，深度最优。
所以最坏的递归建树栈空间也是O(n)，不过最好的是O(lgN)。
综合来说，空间是[O(n)+O(lgN)] ~ [2 O(n)]，这里要取比较大的一个，也就是2O(n)，也就是O(n)。
5.2) 时间复杂度
时间复杂度主要是考察增、删、查三个操作所面临的时间复杂度。 无论增加一个节点还是删除一个节点，首先都是查询这个节点的位置。所以我们首先介绍查询一个节点的时间复杂度。
5.2.1)查询一个节点的时间复杂度
还是以上图为代表，如果要查询其中的某一个节点，比如要查询b1，需要比较的节点一次是b4->b2->b1， 所以查询b1节点需要的时间是3。如果查询b4呢，那就只需要和b4比较一次就可以了。 所以查询一个节点所需要的最大时间，是和树的深度成正比的。那么在上图b树上，时间复杂度就是O(lnN)。 那么在a树上查询呢？查a1的话，只需要和a1比较一次就好了，但是如果要查a7呢，那就需要查询7次了。 所以二叉查找树的时间复杂度是O(lgN) ~ O(n)，取最坏的情况，那就是O(n)了。
5.2.2)增加一个节点的时间复杂度
增加一个节点，需要查询到该节点需要插入的位置，所以花费时间应该是在查询的基础上在+1，所以是O(n)。
5.2.3)删除一个节点的时间复杂度
二叉查找树删除节点可以分为三种情况:
a）要删除的目标节点是叶子节点。
此时只需要把这个节点删除即可，因为此节点没有子树，直接删除就可以了。如下图，删除节点2。
b）要删除的目标节点有一个子树。
i）如果只有左子树，就让这个节点的父节点指向这个节点的左子树。
ii）如果只有右子树，就让这个节点的父节点指向这个节点的右子树。如下图，删除节点3。
c）要删除的目标节点有两个子树。
i）方法一，找到要删除的节点的前驱，这个节点的前驱肯定是没有右子树的，用这个节点的前驱替换这个节点，并删除这个节点。
ii）方法二，找到要删除的节点的后继，这个节点的后继肯定是没有左子树的，用这个节点的后继替换这个节点，并删除这个节点。
前驱和后继的含义:
节点key的前驱，就是中序遍历时，比key小的所有节点中最大的那个节点。
节点key的后继，就是中序遍历时，比key小的所有节点中最大的那个节点。
无论是用前驱进行替换，还是用后继进行替换，思路都是情况c）转换为情况a）或者情况b）。
使用前驱进行替换：
使用后继进行替换：
删除操作说了，那么时间复杂度呢
因为删除一个节点的时候，首先需要进行查找，之后或者直接删除这个节点， 或者使用前驱或者后继替换后进行删除，首先查找的时间复杂度是O(lgN)， 直接删除的时间复杂度是O(1)。 替换删除呢，因为替换删除的时候，查找前驱或者后继的时候， 是在当前节点的基础上进行查找的，所以查找前驱或后继的时间加上查找要删除的节点的时间， 一共是O(lgN)。最坏是O(N)。
所以删除操作的时间复杂度在O(lgN)~O(N)之间。
平均来说会小于O(N)，更接近O(lnN)一些。
删除一个节点(采用前驱节点替换) Go语言描述如下：
//根据 key 值移除一个节点 func remove_node(tree * BNode, key int) (n, t *BNode){ if nil == tree { return nil,nil } //找到 key 所在的节点，删除它 if key == tree.key { n, tree = del_node(tree) } else if key > tree.key { n, tree.rt = remove_node(tree.rt, key) } else { n, tree.lt = remove_node(tree.lt, key) } return n, tree } //删除一个节点的操作 func del_node(tree * BNode) (n, t*BNode) { if nil == tree { return nil, nil } //直接删除叶子节点 if nil == tree.lt && nil == tree.rt { return tree, nil } //不是叶子节点，说明有子树存在 //没有左子树，说明只有右子树，直接返回右子树 if nil == tree.lt { return tree, tree.rt } //只有左子树存在，直接返回左子树 if nil == tree.rt { return tree, tree.lt } //左右子树都存在，获取前驱节点 n, t = get_pre_node(tree.lt) n.lt = t n.rt = tree.rt return tree, n } //获取前驱节点 func get_pre_node(node * BNode) (n, t *BNode) { if nil == node { return nil, nil } if nil != node.rt { n, node.rt = get_pre_node(node.rt) return n, node } //删除找到的前驱节点，并删除此节点后返回 return del_node(node) }
可以调用remove_node(tree, key)函数删除key对应的节点，并且返回删除的节点。