Implement int sqrt(int x)
.
Compute and return the square root of x.
[解题思路]
使用二分法来求解开方,在一个区间中,每次拿中间数的平方来试验,如果小了,再拿右区间的中间数来试。
比如求解sqrt(16), (0+16) / 2 = 8, 8*8 = 64 > 16, 选择左区间(0+7)/2 = 3, 3*3 = 9 < 16, 继续选择右区间(4 + 7)/2 = 5, 5*5 = 25 > 16
继续选择左区间(4+4)/2 = 4, 4*4=16
这里为了防止x输入过大时,mid*mid会溢出,把mid*mid与x的比较换成mid与x/mid之间的比较
1 public int sqrt(int x) { 2 // Start typing your Java solution below 3 // DO NOT write main() function 4 int start = 0, end = x; 5 while(start <= end){ 6 int mid = start + (end - start) / 2; 7 if(mid == 0){ 8 if(x == 0){ 9 return x; 10 } else { 11 start = mid + 1; 12 continue; 13 } 14 } 15 if(mid < x / mid){ 16 start = mid + 1; 17 } else if(mid > x / mid){ 18 end = mid - 1; 19 } else { 20 return mid; 21 } 22 } 23 return (start + end) / 2; 24 }
2013-10-29 refactor code:
1 public int sqrt(int x) { 2 // IMPORTANT: Please reset any member data you declared, as 3 // the same Solution instance will be reused for each test case. 4 if(x == 0 || x == 1){ 5 return x; 6 } 7 int start = 0, end = x; 8 while(start <= end){ 9 int mid = start + (end - start)/2; 10 if(mid == x / mid){ 11 return mid; 12 } else if(mid < x / mid){ 13 start = mid + 1; 14 } else { 15 end = mid - 1; 16 } 17 } 18 19 return (start + end) / 2; 20 }
2.牛顿迭代法
为了方便理解,就先以本题为例:
计算x2 = n的解,令f(x)=x2-n,相当于求解f(x)=0的解,如左图所示。
首先取x0,如果x0不是解,做一个经过(x0,f(x0))这个点的切线,与x轴的交点为x1。
同样的道理,如果x1不是解,做一个经过(x1,f(x1))这个点的切线,与x轴的交点为x2。
以此类推。
以这样的方式得到的xi会无限趋近于f(x)=0的解。
判断xi是否是f(x)=0的解有两种方法:
一是直接计算f(xi)的值判断是否为0,二是判断前后两个解xi和xi-1是否无限接近。
经过(xi, f(xi))这个点的切线方程为f(x) = f(xi) + f’(xi)(x - xi),其中f'(x)为f(x)的导数,本题中为2x。令切线方程等于0,即可求出xi+1=xi - f(xi) / f'(xi)。
继续化简,xi+1=xi - (xi2 - n) / (2xi) = xi - xi / 2 + n / (2xi) = xi / 2 + n / 2xi = (xi + n/xi) / 2。
1 public int sqrt(int x) { 2 // Start typing your Java solution below 3 // DO NOT write main() function 4 5 if(x <= 0){ 6 return x; 7 } 8 double last = 0; 9 double cur = x; 10 while(Math.abs(cur - last) > 0.0001){ 11 last = cur; 12 cur = (cur + x / cur) / 2; 13 } 14 return (int)cur; 15 }