1. 排列公式
(n) 个相异物件取 (r)((1 leq r leq n))个的不同排列总数,为
特别地,若 (n=r),得
人们常约定把 (0!) 作为 (1)。当 (r) 不是非负整数时,记号 (r!) 没有意义。
2. 组合公式
(n) 个相异物件取 (r) 个((1 leq r leq n))个的不同组合总数,为
当 (r=0) 时,按 (0!=1) 的约定,算出 (inom{n}{0} = 1),这可看作一个约定。
只要 (r) 为非负整数,(n) 不论为任何实数,都有意义。故 (n) 可不必限制为自然数。例如:
3. 组合系数与二项式展开的关系
组合系数 (inom{n}{m}) 又常称为二项式系数,因为它出现在下面熟知的二项式展开的公式中:
利用这个关系式,可得出许多有用的组合公式。例如,令 (a=b=1),得
令 (a = -1,b = 1),则得:
另一个有用的公式是
它是由恒等式 ((1+x)^{m+n} = (1+x)^m(1+x)^n) 即
比较两边的 (x^k) 项的系数得到的。
其实,这条公式从直观上理解要更容易,即有两堆物品,第一堆有 (m) 件,第二堆有 (n) 件,要从这两堆物品中取出 (k) 件,有多少种取法?显然,我们可以先在第一堆取 (i) 件((0 leq i leq k)),然后在第二堆取 (k - i) 件,则取法有 (inom{m}{i} inom{n}{k-i}) 种,把 (i) 的所有取值结果相加,即得上面的公式。
4. 物品分堆
(n) 个相异物件分成 (k) 堆,各堆物件数分别为 (r_1, cdots, r_k) 的分法是
此处,(r_1, cdots, r_k) 都是非负整数,其和为 (n)。注意:这里要计较堆的次序,例如,若有 5 个物体 (a,b,c,d,e) 分成 (3) 堆,则 ((ac),(d),(be)) 和 ((be),(ac),(d)) 应算作两种不同的分法。如果不考虑次序,还需要再除以 (k!)。
此式常称为多项式系数,因为它是 ((x_1+cdots+x_k)^n) 的展开式中 (x_1^{r_1} cdots x_k^{r_k}) 这一项的系数。