最近忙里偷闲，每天刷一道 LeetCode 的简单题保持手感，发现简单题虽然很容易 AC，但若去了解其所有的解法，也可学习到不少新的知识点，扩展知识的广度。
创作本文的思路来源于：LeetCode Problem 69. x 的平方根
简述题目大意（不想跳转链接，可以看这里）：给定一个非负整数 x，要求计算并返回 x 的平方根（取整）。例如，输入 4，则输出 2；输入 8，则输出 2（8 的平方根是 2.82842……，由于返回类型是整数，因此小数部分被舍去）。即给定一个 (x)，我们要计算出 (lfloor sqrt{x} floor)。
最简单最直觉的方法自然是从 0 开始遍历，直到找到第一个其平方值大于 (x) 的数 (n)，则 (n-1) 即是答案。对于任意的 (x)，其取整后平方根一定在 ([0, x]) 区间上，代码如下：
int sqrt(int x)
{
if (x == 0)
return x;
int ans = 1;
while (ans <= x / ans)
ans++;
return ans - 1;
}
这里需要注意的有两点：
- 第 6 行代码中，
while的判断条件可以避免溢出。很大概率上，你可能会写成while (ans * ans <= x)，这更自然、更直观，但当ans的值很大时，ans * ans的结果可能会超过int类型的最大表示范围。举个例子，比如我们要计算 (x) 的取整平方根（其值为 (n)，即 (lfloor sqrt{x} floor = n)），算法会将ans遍历到第一个平方超过 (x) 的值，即 (n+1) 后停止。如果 (x) 的值就是int类型能够表示的最大值，那么当ans遍历到 (n+1) 时，计算ans * ans的结果就超出了int类型的表示范围。 - 由于在
while的循环判断中，我们用除法代替了乘法，因此ans便不能再从 0 开始遍历（否则会导致除零错误）。为此，我们可以在算法开始单独处理 (x = 0) 的情况，然后让ans从 1 开始遍历。
作为一道简单题，这种暴力朴素的算法自然是可以 AC 的。但其效率极低（需要遍历 (O(sqrt{n})) 次），在 LeetCode 上的时间效率只能快过约 5% 的用户，使用 C++ 语言的运行时间平均要 90ms 以上。因此，本文提供了两种更加高效的算法：二分查找法和牛顿法。
1. 二分查找法
如果你在暴力求解的基础上继续思考，很大概率会想到用二分搜索求解。
没错，思考暴力求解的策略，我们在区间 ([0, x]) 上搜索解，而搜索区间 ([0, x]) 天然是有序的，自然可以用二分搜索代替线性搜索，以大大提高搜索效率。
更进一步的，我们还可以缩小我们的搜索区间。直觉告诉我们，对于一个非负整数 (x)，其 (sqrt{x}) 应该不会大于 (x / 2)（例如，(sqrt{25} = 5)，小于 (25 / 2 = 12.5)）。我们可以证明：
通过证明我们可以得知，当所求的 (x) 大于等于 (2) 时，sqrt(x) 的搜索空间为 ([1, x / 2])，对于 (x < 2) 的情况，我们只要特殊处理即可（这里我们也可以得到结论：当 (x geq 1) 时，(lfloor frac{x}{2}
floor + 1 geq lfloor sqrt{x}
floor)，然后单独处理 (x < 1) 的情况）。代码：
int sqrt(int x)
{
if (x < 2) // 处理特殊情况
return x;
int left = 1, right = x / 2;
while (left <= right) {
# 避免溢出，相当于 mid = (left + right) / 2
int mid = left + ((right - left) >> 1);
if (mid == x / mid)
return mid;
else if (mid > x / mid)
right = mid - 1;
else
left = mid + 1;
}
return right;
}
在这里解释一下最后的返回值为什么是 right。对于二分查找，其搜索空间会不断收缩到 left == right（关于二分查找，这里不多赘述，自行手动模拟即可），此时 mid、left和 right 三者的值相等（mid = (left + right) / 2）。根据二分查找的搜索范围的收缩条件可知，left（或 mid）左侧的值都小于等于 (lfloor sqrt{x}
floor)，right（或 mid）右侧的值都大于 (lfloor sqrt{x}
floor)，此时（while 的最后一次循环），判断 mid 的平方与 x 的大小，有三种情况：
mid == x / mid。则在循环内直接返回mid的值。mid > x / mid。这种情况下，因为mid左侧的值都小于等于 (lfloor sqrt{x} floor)，而mid的值大于 (x)，则mid-1即是答案。而按照分支条件，执行right = mid - 1，可知right的值正是应返回的值。此时，循环结束，应返回right。mid <= x / mid。这种情况下，mid、left和right正是计算答案（右边的值都大于 (lfloor sqrt{x} floor)）。按照分支条件，执行left = mid + 1，循环结束。此时，mid和right的值为计算结果。
综合上面三点可知，如果 while 循环结束，则 right 保存的值一定是计算结果。
和之前的暴力法相比，使用二分查找的思想求解 sqrt(x)，只需要循环遍历 (O(lg{frac{x}{2}})) 次；空间复杂度为 (O(1))。
2. 牛顿—拉弗森迭代法
牛顿—拉弗森迭代法（简称牛顿法）使用以直代曲的思想，是一种求解函数的方法，不仅仅适用于求解开方计算。当然使用牛顿法求解函数也存在很多坑，但对于求解开方而言，牛顿法是安全的。关于这一方法，你需要掌握一定的高等数学知识，想了解详细的内容，可以参考链接：如何通俗易懂地讲解牛顿迭代法求开方？数值分析？—马同学的回答
简单的理解，可以参考图片：
图片来源：牛顿法与拟牛顿法
给定任意一个非负整数 (n)，我们想要找到一个 (x = lfloor sqrt{n} floor)，这相当于我们要计算函数 (f(x) = x^2 - n) 的根。我们首先需要先给出一个猜测值 (x_0)，不妨令 (x_0 = frac{x}{2} + 1)（证明见第一小节），然后在 (f(x_0)) 处作函数的切线，切线与 (x) 轴的交点，即为一次迭代后的值 (x_1)。若 (x_1) 不是要得到的结果，则继续迭代，在 (f(x_1)) 处作函数的切线，切线与 (x) 轴的交点，即为第二次迭代后的值 (x_2)。以此类推，直到得到 (x_n = lfloor sqrt{n} floor)。
现在我们来推导迭代式。对于 (x_i)，其函数值为 (f(x_i))，则对于点 ((x_i, f(x_i)))，可得其切线方程：
又因为 (x_{i+1}) 为切线与 (x) 轴的交点，所以令 (y=0)，可得：
现在，我们就可以根据迭代式编写代码了：
int sqrt(int x)
{
// 避免除零错误，单独处理 x = 0 的情况
if (x == 0)
return x;
int t = x / 2 + 1;
while (t > x / t)
t = (t + x / t) / 2;
return t;
}
为了确保算法是正确的，我们还需要一些额外的证明。首先，证明迭代式是单调递减的：
可知，在区间 ([sqrt{x}, +infty)) 上，(x_{i+1} - x_i < 0)。
然后，我们还要证明迭代式是可以收敛到 (lfloor sqrt{n} floor) 的：
因此，当 while 循环结束时，我们可以得到正确的答案。
关于牛顿法求 sqrt(x) 的时间复杂度，笔者目前也没有搞清楚，有了解的童鞋欢迎交流~。不过通过查询资料，以及实际测试，可知牛顿法的时间效率优于二分搜索法。