题目描述
Roundgod is given n,k,construct a permutation P of 1~n satisfying that for all integers i in [1,n],there exists a contiguous subarray in P of length i whose sum is k modulo n. If there are multiple solutions,print any of them. If there is no solution ,print "-1" in one line.
输入描述
The first line contains two integers n,k(1(leq) n(leq) 5000,(0leq k leq n) )
输出描述
Print N integers, the answer permutation in one line if such permutation exists. or print "-1" in one line if no solution exists.
示例1
输出
2 1
输出
1 2
说明
The sum of subintervals [1],[1,2] both satisfy (equiv) 1(mod 2),and their lengths are 1,2 respectively.
题解
首先理解题意，给定n，k我们需要构造一个1~n的排列P，使得对于1-n 中任意的数i，P都存在一个长为i的子区间的和模n余k，有解输出任意一组，无解输出-1.
首先如果要有解，k必须是n(n+1)/2%n,因为当i取n的时候，我们需要有一个长为n的子区间来满足它的和模n余k，而整个排列P中，长为n的子区间只有一个，那就是整个排列P，这样的话，这个区间的和就可以算出来，是n(n+1)/2，这个和模n最后得k。所以k就等于n(n+1)/2%n。如果k不满足这个，那么就无解，应该输出-1.
然后观察这个式子n(n+1)/2%n,既然要求模，就一定要有除法，那么n(n+1)/2/n的结果的余数就是我们求的模，这个结果是(n+1)/2,如果n为奇数,n+1为偶数，能够整除2，也就是说，n(n+1)/2/n能整除，那么余数就是0，所以当n为奇数时，k就是0.
当n为偶数时，n+1是奇数，奇数除以2不能整除，这时候就有余数了，那么余数怎么算？我们可以对应3/2=1.5，来计算余数，1.5是个小数，我们就让它向下取整，得到1，然后1再乘以除数，得到2，最后用被除数来减掉2，就是余数1. 此时我们的余数是(frac{n+1}{2}) ,我们进行下列演化：
因为n+1是奇数所以除以2才会不整除，所以我们先把n+1减去1，这样就变成了偶数，就可以整除2了，为保证正确我们在后面还要加上(frac{1}{2}) ,最后我们得到(frac{n}{2}+frac{1}{2}) ,(frac{n}{2}) 就是这个商的整数部分，我们用它乘上除数n，得到(frac{n^{2}}{2}) ,用被除数减去它，即$$frac{n(n+1)}{2}-frac{n^{2}}{2}=frac{n}{2}$$ ,所以余数就是(frac{n}{2}) ,所以此时k就是(frac{n}{2}) .
综上，当n为奇数时，k=0，当n为偶数时，k=n/2。下面来分别讨论。
当n为奇数时，也就是k=0的时候，我们需要让整个排列P中能挑出任意长度的连续区间，这个区间的和模n余k。这里k是0，那么也就是说，区间的和是n的倍数。所以我们只要凑n就行了，大概的排列如下
P={n,1,n-1,2,n-2,...}
当区间长度为1的时候，选择{n}，这时区间和模n等于0，当区间长度为2的时候，选择{1，n-1}，这时区间和模n等于0，当区间长度为3的时候，选择{n，1，n-1},此时的区间和仍然模n等于0.大概就照这样的套路找下去，一定能找到解。
当n为偶数时，也就是k=(frac{n}{2}) 时，我们需要让整个排列P中能挑出任意长度的连续区间，这个区间的和模n余k。这里k是(frac{n}{2}) ,也就是说这个区间和是(frac{n}{2}) 的倍数，但不是n的倍数，同时也需要凑n，基于这个特点，大概可以构造出以下的排列：
P={n,n/2,1,n-1,2,n-2}
当区间长度为1的时候，选择{n/2}，这时区间和模n等于n/2，当区间长度为2的时候，选择{n，n/2},因为加了一个n后再模n，对结果没有影响，所以模n还是等于n/2，照这样，每次就加一个n，这个n可以由排列中的数凑出来，当区间长度为3的时候，选择{n/2，1，n-1}
区间和是模n等于n/2的，就照这个套路，构造下去。