定义
泊松分布的期望和方差
期望
[EX = lambda
]
证明 --> 课本 P52 例题
例 4.2 设随机变量 (X sim P(lambda)), 求 (EX).
解
[EX = sum_{k = 0}^{infty}x_kp_k = sum_{k = 0}^{infty} k frac{lambda ^ k}{k!}e^{-lambda} = e^{-lambda}lambda sum_{k = 1}^{infty}frac{lambda ^ {k - 1}}{(k - 1)!} = lambda e^{-lambda}e^{lambda } = lambda
]
即 (EX = lambda).
模糊计算士按: 上面的计算用到了一个幂级数展开式 -->
[f(x) = e^x = sum_{n = 0}^{infty}frac{x^n}{n!} = 1 + x + frac{x^2}{2!} + frac{x^3}{3!} + ...... frac{x^n}{n!} + ..., quad x in (-infty, +infty)
]
即 -->
[sum_{k = 1}^{infty}frac{lambda ^ {k - 1}}{(k - 1)!} = e^lambda
]
方差
[DX = lambda
]
证明 --> 课本 P57 例题
例 4.18 设随机变量 (X sim P(lambda)), 求 (DX).
解
[EX^2 = sum_{k = 0}^{infty} k^2 frac{lambda ^ k}{k!}e^{-lambda} = lambda sum_{k = 1}^{infty}ke^{-lambda}frac{lambda ^ {k - 1}}{(k - 1)!} = lambdasum_{k = 0}^{infty} (k + 1) e^{-lambda}frac{lambda ^ k}{k!} = lambda (lambda + 1)
]
则:
[DX = EX^2 - (EX)^2 = lambda (lambda + 1) - lambda^2 = lambda.
]
模糊计算士按: 上面的计算用到了一个幂级数展开式 -->
[f(x) = e^x = sum_{n = 0}^{infty}frac{x^n}{n!} = 1 + x + frac{x^2}{2!} + frac{x^3}{3!} + ...... frac{x^n}{n!} + ..., quad x in (-infty, +infty)
]
将
[sum_{k = 0}^{infty} (k + 1) e^{-lambda}frac{lambda ^ k}{k!}
]
拆成
[sum_{k = 0}^{infty} ke^{-lambda}frac{lambda ^ k}{k!} + sum_{k = 0}^{infty}e^{-lambda}frac{lambda ^ k}{k!}
]
然后左式可以利用上面的求期望的结果, 右式直接用 (e^x) 的幂级数展开就完成了.
泊松分布的重要性质
