Fibonacci(斐波那契)数列方法整理

数列描述：

(F_0 = 0, F_1 = 1, F_n = F_{n - 1} + F_{n - 2})

图形表示：

• 递归实现

int fib(int n)
{
    if (1 == n || 2 == n)
        return 1;
    return fib(n - 1) + fib(n - 2);
}

缺点：存在大量重复运算，效率低下。

• 使用迭代

int fib2(int n)
{
    int tmp1 = 1, tmp2 = 1, res;

    /*fib(n-1), fib(n-2), fib(n)*/
    if (n < 3)
        return (1);
    while (--n >= 2)
    {
        res = tmp1 + tmp2;
        tmp1 = tmp2;
        tmp2 = res;
    }
    return (res);
}

• 其它方法

  • 构造新序列，令(f_n + af_{n - 1} = b(f_{n - 1} + af_{n - 2}))，得到 (a = frac{sqrt{5} - 1}{2}, b = frac{sqrt{5} + 1}{2})，因此 (f_n = frac{b^n - a^n}{sqrt{5}})

    构造出这个数列之后，求解很容易，问题是：这个构造数列是如何想到的？
    其实，构造的方法一般来说都是固定的。比如，高中时候常见的构造 “等比数列和常数” 这一整体为一个等比数列。稍微深入类比一下即可。

  • 使用矩阵运算

    (egin{bmatrix} f_{n - 1} \ f_n end{bmatrix} = egin{bmatrix} 0 & 1 \ 1 & 1 end{bmatrix} egin{bmatrix} f_{n - 2} \ f_{n - 1} end{bmatrix} = {egin{bmatrix} 0 & 1 \ 1 & 1 end{bmatrix}}^n egin{bmatrix} 0 \ 1 end{bmatrix})

附：1、如何计算 (frac{sqrt{5} - 1}{2}) ? 2、如何求矩阵的幂？
答：

• 1、计算 (frac{sqrt{5} - 1}{2})，见 https://www.cnblogs.com/fanlumaster/p/13678549.html
• 2、计算矩阵（确切来说，是方阵）的幂，见 https://www.cnblogs.com/fanlumaster/p/14162366.html

另：用Python绘制的斐波那契螺线图