Eratothenes筛法
描述
找出N以内的素数，并求和。
输入一个正整数N，N<=10^7输出一个整数，表示N以内素数之和。
样例输入
10
样例输出
17
提示
1.结果可能很大
2.Eratosthenes筛法的复杂度为O(NlglgN)，能在1s内找出10^7以内的素数
代码：
1 #include<iostream> 2 using namespace std; 3 int a[10000005]; 4 int n; 5 int main(){ 6 cin>>n; 7 int i, j; 8 for(i = 2; i <= n/2; i++){ 9 if(a[i]==0) 10 for(j = i; j <= n/i; j++){ 11 a[i*j] = -1; 12 } 13 } 14 long long ans = 0; 15 for(i = 2; i <= n; i++){ 16 if(a[i]!=-1) 17 ans+=i; 18 } 19 cout<<ans<<endl; 20 return 0; 21 }
备注：
筛法的思想很简单。从2开始，把2的所有倍数标记为-1，再找到下一个未被标记的数（质数），继续划掉它的倍数。注意j从i开始循环就好了，因为更小的倍数已经在之前删更小的质数倍数的时候删过了。
答案用long long存。。
欧拉Phi函数
描述
在数论中，对于正整数n，函数phi(n)的值是"小于等于n的数中，与n互质的数的个数”。
也可以用下面公式计算：phi(n)=n×(1-1/p1)×(1-1/p2)...×(1-1/pm)，其中p1,p2...pm为n的所有质因数（即又是质数又是n的因数）。
输入一个正整数n，n<=10^7输出一个整数，既phi(n)的值
样例输入
45
样例输出
24
提示
45有质因数3和5，那么phi(45)=45(1-1/3)(1-1/5)=24
n本身也是自己的因数，但不一定是质数
代码：
1 #include<iostream> 2 #include<cmath> 3 #include<cstdlib> 4 using namespace std; 5 int num; 6 int a[10000005]; 7 int phi(int n){ 8 int ans = n; 9 int m = (int)sqrt(n+0.5); 10 int i; 11 for(i = 2; i <= m; i++){ 12 if(n%i == 0){ 13 ans = ans/i*(i-1); 14 while(n%i == 0) n/=i; 15 } 16 } 17 if(n > 1)ans = ans/n*(n-1); 18 return ans; 19 } 20 int main(){ 21 cin>>num; 22 int ans = phi(num); 23 cout<<ans<<endl; 24 return 0; 25 }
备注：
参考《入门经典》。其实也是运用了筛法的思想。最开始我用先生成素数表再逐个判断虽然慢点也AC了。实际上，从2开始，每找到一个素因子就把它除干净，这样保证找到的每一个因子都是素数。注意：i循环到√n就可以了，因为最多只会有一个大于√n的素因子（两个的话乘起来不就超了么），最后加一个if（n>1）把最后那个最大的素因子算上就好了。
欧拉Phi函数升级版
描述
在数论中，对正整数n，phi(n)的值是"小于等于n的数中，与n互质的数的个数”，并且也是模n乘法群Zn*的规模。
可以用下面公式计算：phi(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)...(1-1/pm)，其中p1,p2...pm为n的所有质因数。
输入一个正整数n，n<=10^5输出一个整数，phi(1)+phi(2)+...+phi(n)的值
样例输入
20
样例输出
128
提示
1.结果可能很大
2.O(NlogN)才能过，借鉴Eratosthenes筛法
代码：
1 #include<iostream>
2 #include<cstring>
3 using namespace std;
4 int phi[100005];
5 void phi_table(int n){
6 memset(phi, 0, sizeof(phi));
7 phi[1] = 1;
8 for(int i = 2; i <= n; i++)
9 if(!phi[i])
10 for(int j = i; j <= n; j+=i){
11 if(!phi[j]) phi[j]=j;
12 phi[j] = phi[j]/i*(i-1);
13 }
14 }
15 int main(){
16 int num;
17 cin>>num;
18 phi_table(num);
19 long long ans = 0;
20 int i;
21 for(i = 1; i <= num; i++)
22 ans+=phi[i];
23 cout<<ans;
24 return 0;
25 }
备注：
参考《入门经典》。
升级版就是求1~n所有phi（x）之和。phi(1)=1..
从2开始循环，如果phi[i]==0的话说明这个数是质数。然后开始筛，对于所有i的倍数，如果还为0，就让它等于本身。然后把phi[j]乘上这个1-1/该素因子。相当于每处理一个数就把1~n内所有以它为素因子的数都处理了。
这样就实现了NlogN的复杂度？？