难度：普及/提高-
题目类型：记忆化搜索
提交次数：1
涉及知识：动态规划
题目描述
Michael喜欢滑雪。这并不奇怪，因为滑雪的确很刺激。可是为了获得速度，滑的区域必须向下倾斜，而且当你滑到坡底，你不得不再次走上坡或者等待升降机来载你。Michael想知道在一个区域中最长的滑坡。区域由一个二维数组给出。数组的每个数字代表点的高度。下面是一个例子：
1 2 3 4 5
16 17 18 19 6
15 24 25 20 7
14 23 22 21 8
13 12 11 10 9
一个人可以从某个点滑向上下左右相邻四个点之一，当且仅当高度减小。在上面的例子中，一条可行的滑坡为24－17－16－1（从24开始，在1结束）。当然25－24－23―┅―3―2―1更长。事实上，这是最长的一条。
输入输出格式
输入格式：
输入的第一行为表示区域的二维数组的行数R和列数C（1≤R，C≤100）。下面是R行，每行有C个数，代表高度(两个数字之间用1个空格间隔)。
输出格式：
输出区域中最长滑坡的长度。
代码：
1 #include<iostream> 2 #include<algorithm> 3 #include<vector> 4 using namespace std; 5 int m, n; 6 const int MAXX = 110; 7 const int MAXY = 110; 8 int d[MAXX][MAXY]; 9 bool boundary(int x, int y){ 10 if(x>=1&&x<=m&&y>=1&&y<=n) return true; 11 return false; 12 }//判断是否越界 13 struct Node{ 14 int x; 15 int y; 16 int h; 17 }; 18 bool com(Node a, Node b){ 19 return a.h < b.h; 20 } 21 int main(){ 22 int i, j, k, x, y;//m行n列 23 cin>>m>>n; 24 int a[m+1][n+1]; 25 k = 0; 26 vector<Node>s(m*n); 27 for(i = 1; i <= m; i++) 28 for(j = 1; j <= n; j++){ 29 cin>>a[i][j]; 30 s[k].h = a[i][j]; 31 s[k].x = i; 32 s[k].y = j; 33 k++; 34 } 35 sort(s.begin(), s.end(), com);//按高度从小到大排序 36 37 for(i = 0; i <= MAXX; i++) 38 for(j = 0; j <= MAXY; j++) 39 d[i][j] = 1; 40 41 for(i = 0; i < m*n; i++){ 42 if(boundary(s[i].x-1, s[i].y) && a[s[i].x-1][s[i].y] < a[s[i].x][s[i].y]) 43 d[s[i].x][s[i].y] = max(d[s[i].x][s[i].y], d[s[i].x-1][s[i].y] + 1); 44 45 if(boundary(s[i].x+1, s[i].y) && a[s[i].x+1][s[i].y] < a[s[i].x][s[i].y]) 46 d[s[i].x][s[i].y] = max(d[s[i].x][s[i].y], d[s[i].x+1][s[i].y] + 1); 47 48 if(boundary(s[i].x, s[i].y-1) && a[s[i].x][s[i].y-1] < a[s[i].x][s[i].y]) 49 d[s[i].x][s[i].y] = max(d[s[i].x][s[i].y], d[s[i].x][s[i].y-1] + 1); 50 51 if(boundary(s[i].x, s[i].y+1) && a[s[i].x][s[i].y+1] < a[s[i].x][s[i].y]) 52 d[s[i].x][s[i].y] = max(d[s[i].x][s[i].y], d[s[i].x][s[i].y+1] + 1); 53 } 54 int ans = 0; 55 for(i = 1; i <= m; i++){ 56 for(j = 1; j <= n; j++) 57 ans = max(ans, d[i][j]); 58 } 59 cout<<ans<<endl; 60 return 0; 61 }
备注：
暑假北大课讲动规时说过的一道题，回家后写了一遍，洛谷上看到就直接过了。这是比较典型“人人为我”动规。先把点的高度从小到大排序，每个点都初始化为1。从最矮的点开始（每个点都可以从它前后左右任何一个比它高的点滑过来），一步步更新，最后取最大值。
11-26更新：
用递归的方法写了一遍，代码简单一点：
1 //滑雪 2 //2019-11-26 3 4 #include<iostream> 5 using namespace std; 6 int d[105][105]; //存放状态,以(i,j)为终点的最长线路 7 int a[105][105]; 8 int dirx[4]={0,0,1,-1}; 9 int diry[4]={1,-1,0,0}; 10 int m, n; 11 //递推的顺序：高度从低到高 12 //用记忆化搜索就不用考虑顺序问题 13 bool check(int x, int y){//判断（x，y）是否越界 14 if(x>=1&&x<=m&&y>=1&&y<=n) return true; 15 return false; 16 } 17 int dp(int x, int y){ 18 if(d[x][y]) return d[x][y]; //如果已经有数据，直接返回 19 int maxx = 1; //这个地方注意一定是初始化为1，考虑最高点，这时候不会进入循环，这个点的d值应该是1而不是0 20 for(int i = 0; i < 4; i++){ //遍历四个方向,选一个最长的 21 int nx = x+dirx[i], ny = y+diry[i]; 22 if(check(nx,ny)&&a[nx][ny]>a[x][y]) 23 maxx = max(maxx,dp(nx,ny)+1); 24 } 25 d[x][y] = maxx; //要记得给状态数组赋值 26 return maxx; 27 } 28 int main(){ 29 cin>>m>>n; 30 int i, j; 31 for(i = 1; i <= m; i++) 32 for(j = 1; j <= n; j++){ 33 cin>>a[i][j]; 34 } 35 for(i = 1; i <= m; i++) 36 for(j = 1; j <= n; j++) 37 int x = dp(i,j); //把d数组跑出来 (每一个点都要跑，才能跑出来整个表） 38 int ans = 0; 39 for(i = 1; i <= m; i++) 40 for(j = 1; j <= n; j++) 41 ans = max(ans, d[i][j]); 42 cout<<ans<<endl; 43 return 0; 44 }
重要的点都写在注释里了。感觉可以作为一个模板来熟悉。记忆化搜索的边界条件就是有记忆。