通信基础整理

奈奎斯特第一准则

　　1924年，奈奎斯特（Nyquist）推导出在理想低通信道下最高码元传输速率。对于一个带宽为W（Hz）的理想低通信道（负频-W），其最大码元传输速率为2W（Baud）（注意还有一个理想带通）。最大若码元的传输速率超过了奈氏准则所给出的数值，则将出现码元之间的互相干扰，以致在接收端就无法正确判定码元。如果传输的信号包含M种状态，那么带宽为W（Hz）的信道的最大传输速率（信道容量C）是：

　　C = 2×W×log₂M

 　　以GSM系统为例，它的某一个频道的中心频率是890.2MHz，它的频率范围为[890.1MHz，890.3MHz]，一共200kHz的频谱宽度。对于GSM这样的200kHz的频点带宽，其奈奎斯特带宽的最大传输速率（采用BPSK）为400kbps（理想值），然而由于信道噪声的限制，其实际的传输速率大约为270.833kbps。

香农定理

　　香农定理指出，在有限带宽下有热噪声的信道的最大传输速率（信道容量）为：

　　C = B×log₂（1 + S/N）

　　由于高斯白噪声的功率N与信道带宽W有关，若噪声的功率谱密度为n₀，则功率噪声N将等于n₀B。因而，香农公式可以被写作 C = B×log₂（1 + S/n₀B）。由这个公式可以看出，当B →∞，C也是一个给定的有限值 C ≈ 1.44 BS/N。

 

扩频技术

　　根据香农定理，信道容量：C = W×Log2（1+S/N）。C--信息的传输速率 S--有用信号功率 W--频带宽度 N--噪声功率。

　　为了提高信息的传输速率C，可以从两种途径实现，既加大带宽W或提高信噪比S/N。换句话说，当信号的传输速率C一定时，信号带宽W和信噪比S/N是可以互换的，即增加信号带宽可以降低对信噪比的要求，当带宽增加到一定程度，允许信噪比进一步降低，有用信号功率接近噪声功率甚至淹没在噪声之下也是可能的。扩频通信就是用宽带传输技术来换取信噪比上的好处，这就是扩频通信的基本思想和理论依据。

　　例如，在CDMA种，一个9.6KHz的语音话路，扩频下占用了1.25MHz的带宽，就是因为使用了扩频技术，从而降低了接收端的要求，提升了信道的性能。

 

交织编码

　　交织编码的目的是把一个较长的突发差错离散成随机差错，再用纠正随机差错的编码（FEC）技术消除随机差错。交织深度越大，则离散度越大，抗突发差错能力也就越强。但交织深度越大，交织编码处理时间越长，从而造成数据传输时延增大，也就是说，交织编码是以时间为代价的。因此，交织编码属于时间隐分集。

 

迫零均衡（ZF均衡）

　　频域均衡的一个重要准则就是峰值失真准则，该准则的均衡目标就是使误差最小。ZF均衡在无噪声的情况下，可以完全消除符号间干扰。

 

4种频率及其数量关系

　　归一化频率：根据奈奎斯特采样定理，采样率Fs必须大于或等于被采样信号最高频率的2倍才不会发生频率的频谱混叠，因此Fs能够采样到的信号的最高频率为 Fs/2。归一化频率是将物理频率按Fs归一化后的结果，最高频率信号Fs/2归一化的结果为0.5。因此Matlab的fdtool工具中最大的归一化频率只为0.5的原因。

 　　FFT频率与物理频率关系：做n个点的FFT，表示在时域上对原来的信号取了n个点来做频谱分析，n点FFT变换的结果仍为n个点。换句话说，就是将2pi数字频率w分成n份，而整个数字频率w的范围覆盖了从0-2pi*fs的模拟频率范围。这里的fs是采样频率。而我们通常只关心0-pi中的频谱，因为根据奈科斯特定律，只有f=fs/2范围内的信号才是被采样到的有效信号。那么，在w的范围内，得到的频谱肯定是关于n/2对称的。举例说，如果做了16个点的FFT分析，你原来的模拟信号的最高频率f=32kHz，采样频率是64kHz，n的范围是0,1,2...15。这时，64kHz的模拟频率被分成了16分，每一份是4kHz，这个叫 频率分辨率 。那么在横坐标中，n=1时对应的f是4kHz, n=2对应的是8kHz, n=15时对应的是60kHz，你的频谱是关于n=8对称的。你只需要关心n=0到7以内的频谱就足够了，因为，原来信号的最高模拟频率是32kHz。

　　这里可以有两个结论：

1. 必须知道原来信号的采样频率fs是多少，才可以知道每个n对应的实际频率是多少， 第k个点的实际频率的计算为f(k)=k*(fs/n)。
2. 你64kHz做了16个点FFT之后，因为频率分辨率是4kHz，如果原来的信号在5kHz或者63kHz有分量，你在频谱上是看不见的，这就表示你越想频谱画得逼真，就必须取越多的点数来做FFT，n就越大，你在时域上就必须取更长的信号样本来做分析。但是无论如何，由于离散采样的原理，你不可能完全准确地画出原来连续时间信号的真实频谱，只能无限接近（就是n无限大的时候），这个就叫做频率泄露。在采样频率fs不变得情况下，频率泄漏可以通过取更多的点来改善，也可以通过做FFT前加窗来改善，这就是另外一个话题了。（网络摘要）

 

信道编码

　　信道编码可以分为分组码和卷积码两大类。

　　对于分组码，有长度为K的二进制序列（称作信息序列）代表M = 2^K个消息之一被映射成长度为n，称为码字的二进制序列，这里n > k。码字常常采用n长二进制符号序列的方式经通信信道传送，例如采用BPSK符号传送码字方式通常还有QPSK和BFSK。分组码是无记忆的，当一个码字编成并发送之后，编码系统引入一个新的K位信息比特组，再用编码方案规定的映射方式对其进行编码。编出的码字，仅仅取决于当前的K信息比特组，而与之前发送的所有码字无关。

　　卷积码是用有限状态机来描述的。在每一个时刻 i ，进入编码器的 k 位信息比特被编成n位二进制符号从编码器输出，而编码器状态由 σ_i-1 变为σ_i 。所有的可能状态的集合石有限数目的，用∑来表示。编码器输出的 n 位二进制符号以及编码器的下一个状态 σ_i  由k位输入比特和前状态 σ_i-1 共同决定。

 

高斯函数（Guassian function）

　　高斯函数的傅里叶变换是另外一个高斯函数，而且是进行傅里叶变换函数的标量倍。时域的卷积等于频域的乘积，因此将时域的信号与高斯函数卷积等同于频域信号和高斯函数的傅里叶变换相乘，由于高斯函数的傅里叶变换仍然是高斯函数，因此这等同于对原来的时域信号进行了一个低通滤波，即平滑效果。

　　高斯函数的两个特性：

• 一个高斯函数跟另外一个高斯函数的卷积仍然是一个高斯函数，A*B=C   C的标准差的平方是A和B的标准差的平方和，也就是说卷积后的高斯函数更宽，模糊的效果更明显（直观上看，连续做高斯模糊运算，图像会越来越模糊。） 
• 高斯函数的傅立叶变换仍然是一个高斯函数，如果原来的高斯函数越宽（标准差越大），变换后的高斯函数就越窄（标准差越小），也就是说一个越宽的高斯函数，低通（高阻）滤波的效果越明显，处理后的图像的细节就越不清楚（更模糊）。   

　　要对数字图像做高斯模糊，就是用一个符合高斯函数分布的卷积核对数字图像做卷积运算。

脉冲成形（pulse shaping）

　　从本质上说，脉冲成形就是一种滤波。数字通信系统的信号都必须在一定的频带内，但是基带脉冲信号的频谱是一个Sa函数，在频带上是无限宽的，单个符号的脉冲将会延伸到相邻符号码元内产生码间串扰，这样就会干扰到其他信号，这是不允许的。为了消除干扰，信号在发射之前要进行脉冲成形滤波，把信号的频率约束在带内。因此在信道带宽有限的条件下，要降低误码率，提升信道频带利用率，需要在信号传输前，对其进行脉冲成形处理，改善其频谱特，产生适合信道传输的波形。符号/秒代表单位波特（Baud），波特率是符号信息的比特率。一般的脉冲成型是要过采样的，不然没有意义，因为成型滤波会扩展带宽，过采样是为了减少频谱混叠。一般来说，成形滤波的位置在载波调制之前，仅挨着载波调制。

　　数据发送接收的流程：（发送端）插值（采样）-成形-滤波（LPF)-加载频(载波调制)-加噪声至 ---->>（接收端）乘本振-低通-定时抽取-判决。

　　上采样：对信号进行L倍上采样，即在时域相邻信号之间插入L-1个0，然后通过低通滤波器滤除高频分量就得到L倍上采样的数据。根据采样定理，在L倍上采样中，原始信号插入L-1个零之后，频谱上会有L-1周期延拓，滤波的目的就是要将L-1周期拓展出来的频率滤掉。从频域来看，等价于在原始波形的频域上补N*（L-1）个零然后再变换为时域。

　　下采样：下采样与上采样过程相反，首先将信号通过低通滤波器，滤除所需信号带宽外的信号，避免降采样后发生频谱混叠。然后进行L倍抽取，即进行了L倍下采样。在频域上低通滤波就相当于将不需要的高频分量置零，而抽取就相当于对频谱进行截短，进而得到L倍下采样的结果。 

　　就以在最常见的数字接收机中为例，最后要得到的基带信号的采样率等于符号速率，这个速率是比较低的，但通常的做法并不是直接以这个采样率对模拟信号进行采样，而是采用高的多（几十甚至上百倍）的采样率，这样可以提高采样得到的信号的信噪比，然后再用数字的方法对信号进行多级的滤波和抽取，直到最后信号的采样率与符号速率相等。这样处理可以获得的信噪比增益为最初采样率与最后输出信号采样率之比。

全响应与部分响应系统

 　　全响应系统只对单个码元符号进行成型，部分响应系统是对多个码元符号进行成型。。。

OFDM子载波间隔和符号周期

　　子载波间隔F和符号周期T的关系式，TF = 1。对于LTE简单理解，子载波间隔一般是15kHz，一个载波宽度是30K，这是频域的概念，可以认为它的频率周期为15kHz，那么它在时域上的持续时间即为1/频率周期，即是1/15kHz=66.6us。由于有用信号是承载于每个子载波上的，所以在时间上的持续时间66.6us即是有用信号的持续时间，被称为有用符号时间。对于OFDM系统，信号经过调制之后（例如QPSK，16QAM等）产生复数信号，这些复数信号被映射在每一个子载波上。

　　对于OFDM信号，由于单个子载波不进行成型滤波，直接分IQ两路发送出去。对于其一次谐波sin(2pi*t)是一个单一的频率其频谱会是一个冲激。不过实际发的信号都是限定在[0-2pi]之内的一小段。对限制在[0,2π]内的sin(t)信号，相当于无限长的sin(t)信号乘以一个[0,2π]上的门信号（矩形脉冲），其频谱为两者频谱的卷积。sin(t)的频谱为冲激，门信号的频谱为sinc信号（即sin(x)/x信号）。冲激信号卷积sinc信号，相当于对sinc信号的搬移。

　　OFDM信号的子载波间隔Δf即确定了子载波本身，又确定了待发送信号的传输时间，从而决定了信号频谱主瓣宽度以及旁瓣为0的位置。这也意味着，OFDM系统中一旦选定了子载波间隔，时域上的正交性以及频域上的正交性也就顺理成章的联系起来了。

信道估计

　　信道估计算法从输入数据类型来分，可以划分为时域和频域的两大类方法。频域方法主要针对多载波系统；时域方法适用于所有的单载波和多载波系统。

瑞利衰落信道

　　通信系统的信道模型中，信道由很多的统计模型。瑞利衰落信道(Rayleigh fading channel)是指信号通过信道后，其幅度是随机变化的，包络服从瑞利分布。这一信道模型能够描述由电离层和对流层反射的短波信道，以及建筑物密集的城市环境。瑞利信道只适用于从发射机到接收机不存在直射信号（LoS，Line of Sight）的情况，否则应使用莱斯(Rice fading channel)衰落信道作为信道模型。瑞利分布是一个均值为0，方差为σ2的平稳窄带高斯过程，其包络的一维分布是瑞利分布。