洗牌算法

洗牌算法

描述

打乱一个数组。

所以我们面临两个问题：

1、什么叫做「真的乱」？

2、设计怎样的算法来打乱数组才能做到「真的乱」？

洗牌算法正确性的准则：产生的结果必须有 n! 种可能，否则就是错误的。**这个很好解释，因为一个长度为 n 的数组的全排列就有 n! 种，也就是说打乱结果总共有 n! 种。算法必须能够反映这个事实，才是正确的。

代码

// 得到一个在闭区间 [min, max] 内的随机整数
int randInt(int min, int max);

// 第一种写法
void shuffle(int[] arr) {
    int n = arr.length();
    /******** 区别只有这两行 ********/
    for (int i = 0 ; i < n; i++) {
        // 从 i 到最后随机选一个元素
        int rand = randInt(i, n - 1);//  不是0
        /*************************/
        swap(arr[i], arr[rand]);
    }
}

// 第二种写法
    for (int i = 0 ; i < n - 1; i++)
        int rand = randInt(i, n - 1);

// 第三种写法
    for (int i = n - 1 ; i >= 0; i--)
        int rand = randInt(0, i);

// 第四种写法
    for (int i = n - 1 ; i > 0; i--)
        int rand = randInt(0, i);

解析

正确代码分析

// 假设传入这样一个 arr
int[] arr = {1,3,5,7,9};

void shuffle(int[] arr) {
    int n = arr.length(); // 5
    for (int i = 0 ; i < n; i++) {
        int rand = randInt(i, n - 1);
        swap(arr[i], arr[rand]);
    }
}

for 循环第一轮迭代时，i = 0，rand 的取值范围是 [0, 4]，有 5 个可能的取值。

for 循环第二轮迭代时，i = 1，rand 的取值范围是 [1, 4]，有 4 个可能的取值。

后面以此类推，直到最后一次迭代，i = 4，rand 的取值范围是 [4, 4]，只有 1 个可能的取值。

可以看到，整个过程产生的所有可能结果有 n! = 5! = 5*4*3*2*1 种，所以这个算法是正确的。

第二种写法：

前面的迭代都是一样的，少了一次迭代而已。所以最后一次迭代时 i = 3，rand 的取值范围是 [3, 4]，有 2 个可能的取值。

所以整个过程产生的所有可能结果仍然有 5*4*3*2 = 5! = n! 种，因为乘以 1 可有可无嘛。所以这种写法也是正确的。

如果以上内容你都能理解，那么你就能发现第三种写法就是第一种写法，只是将数组从后往前迭代而已；第四种写法是第二种写法从后往前来。所以它们都是正确的。

// 第二种写法
// arr = {1,3,5,7,9}, n = 5
    for (int i = 0 ; i < n - 1; i++)
        int rand = randInt(i, n - 1);

错误代码分析

void shuffle(int[] arr) {
    int n = arr.length();
    for (int i = 0 ; i < n; i++) {
        // 每次都从闭区间 [0, n-1]
        // 中随机选取元素进行交换
        int rand = randInt(0, n - 1);// 这里是0，错误
        swap(arr[i], arr[rand]);
    }
}

现在你应该明白这种写法为什么会错误了。因为这种写法得到的所有可能结果有 n^n 种，而不是 n! 种，而且 n^n 不可能是 n! 的整数倍。

比如说 arr = {1,2,3}，正确的结果应该有 3!= 6 种可能，而这种写法总共有 3^3 = 27 种可能结果。因为 27 不能被 6 整除，所以一定有某些情况被「偏袒」了，也就是说某些情况出现的概率会大一些，所以这种打乱结果不算「真的乱」。