[LeetCode] 95. Unique Binary Search Trees II(给定一个数字n，返回所有二叉搜索树) ☆☆☆

Unique Binary Search Trees II leetcode java

【LeetCode】Unique Binary Search Trees II 异构二叉查找树II

Unique Binary Search Trees II -- LeetCode

描述

Given n, generate all structurally unique BST's (binary search trees) that store values 1...n.

For example,
Given n = 3, your program should return all 5 unique BST's shown below.

   1         3     3      2      1
           /     /      /       
     3     2     1      1   3      2
    /     /                        
   2     1         2                 3

解析

这道题比1难的就是不是返回个数，而是返回所有结果。
引用code ganker（http://codeganker.blogspot.com/2014/04/unique-binary-search-trees-ii-leetcode.html）的讲解：
”这道题是求解所有可行的二叉查找树，从Unique Binary Search Trees中我们已经知道，可行的二叉查找树的数量是相应的卡特兰数，不是一个多项式时间的数量级，所以我们要求解所有的树，自然是不能多项式时间内完成的了。算法上还是用求解NP问题的方法来求解，也就是N-Queens中
介绍的在循环中调用递归函数求解子问题。思路是每次一次选取一个结点为根，然后递归求解左右子树的所有结果，最后根据左右子树的返回的所有子树，依次选取
然后接上（每个左边的子树跟所有右边的子树匹配，而每个右边的子树也要跟所有的左边子树匹配，总共有左右子树数量的乘积种情况），构造好之后作为当前树的
结果返回。
“
这道题的解题依据依然是：
当数组为 1，2，3，4，.. i，.. n时，基于以下原则的BST建树具有唯一性：
以i为根节点的树，其左子树由[1, i-1]构成， 其右子树由[i+1, n]构成。

在做 Unique Binary Search Trees 这道题时，我们用一个数组保存 1 至 n-1 对应的不同二叉树的个数 X₁、X₂、X₃、... X_n-1，

则 n 对应的不同二叉树个数X_n = X_n-1 + X₁*X_n-2 + X₂*X_n-3 + X₃*X_n-4 + ... + X_n-2*X₁ + X_n-1

 　　通过这个递推式，我们可以从 N = 1 开始递推，最后得到 N = n 时不同二叉查找树的个数。

与上述思路类似，我们可以通过深度优先搜索（递归）解决这道题。

因为二叉查找树满足父节点的值大于左子节点的值，小于右子节点的值，所以我们可以：

(1) 从 N=1 开始构建二叉查找树，则它的左子树节点数为 0，右子树节点数为 n-1；

(2) N=2 时，左子树节点数为 1，右子树节点数为 n-2；

……

(n) N=n 时，左子树节点数为 n-1，右子树节点数 0。

而在第(1)步中，右子树继续执行上述循环，子树的子树又执行这个循环，最终，我们可以将子树节点数减少到 1，而一个节点只有一种排列方式，所以此时可以毫不犹豫地将结果返回给上一级。然后包含有两个节点的二叉树排列方式又被返回给上一级。……

依此类推，我们最后可以得到所有不同结构的二叉查找树。

代码

public ArrayList<TreeNode> generateTrees(int n) {
        return generateTrees(1, n);//从1作为root开始，到n作为root结束
    }
     
    private ArrayList<TreeNode> generateTrees(int left, int right){
        ArrayList<TreeNode> res = new ArrayList<TreeNode>();
        if (left > right){
            res.add(null);//加入一个空元素进去来表示这是一颗空树 并且同时也是保证下面循环时即使一边是空树，也会跑另一边
            return res;
        }
        for (int i = left; i <= right; i++){
            ArrayList<TreeNode> lefts = generateTrees(left, i-1);//以i作为根节点，左子树由[1,i-1]构成
            ArrayList<TreeNode> rights = generateTrees(i+1, right);//右子树由[i+1, n]构成
            for (int j = 0; j < lefts.size(); j++){
                for (int k = 0; k < rights.size(); k++){
                    TreeNode root = new TreeNode(i);
                    root.left = lefts.get(j);
                    root.right = rights.get(k);
                    res.add(root);//存储所有可能行
                }
            }
        }
        return res;
    }