树状数组
F三、蒟蒻看法
树状数组是十分神奇的算法（至少我这么认为，我至今都好奇，第一个人是如何想出来的，oi深似海比海深比海深）。
F二、树状数组存在的含义（要它干啥子）用途！用途!
其实标题已经说明了，它可以支持一些区间操作，比如最基础的单点修改、区间查询，区间修改，单点查询，和一些精巧的应用。（哦~~，我的数组也可以实现）那你就等着T吧。树状数组的速度是真的快，比线段树都要快！但是理解起来有一点点麻烦，所以有了这篇博客。
F一、什么是树状数组
与它的名字一样，就是用数组来实现树形结构，是不是很腻害！而且代码短！代码短！
一、初识树状数组（介绍）
对，他就是这样的，红色的代表我们今天要学的树状数组，而黑色便是普通的数组，这张图代表了他们的对应关系。（？？what？What are you say？）
不要急，咱们先来点基础知识。
二、前置知识（lowbit可是树状数组的灵魂）
我们都知道，任何一个数都可以用2不同的幂相加得到：
x=2i1+2i2+2i3+2i4+……+2i+n,其中i1>i2>i3>i4>……>im，例如：7=22+21+20=4+2+1.
这也就意味着一段区间可以划分为大小不同的段数，例如：[1,7]=[1,4]+[5,6]+[7,7].（上面的例子数的大小与这个例子的区间长度一一对应）。
上面的图不好，咱们再来一张。（不慌不慌）
同样，最底下为输入的数（也就是数组，这里设为a[i]），上方对印的便是树状数组。
咱们还拿7为例子，[1,7]=[1,4]+[5,6]+[7,7]同等与a[1]+a[2]+a[3]+a[4]+a[5]+a[6]+a[7]=c[4]+c[6]+c[7].
但这是如何实现的呢？答：lowbit(n).
又要前置知识了，lowbit可以求出一个数在二进制数中最低位1以其他后边的0所构成的值。理解的人请跳过本段。首先是二进制数，二进制讲解：咱们平时的运算都是十进制的（即逢十进一），二进制便是逢二进一。为了实现lowbit(n)操作，我们将n取反变为~n（取反就是，将原本为1的变为0，为0的变为1），这样原本n的最后一位1的位置（设为k）~n的第k位为0，因为原本n的最后一位1的位置为k，所以k以后全是0，所有~n第k位以后全是1，此时我们将~n+1（此时，~n第k位以后的1都会因为进位变成0，而第k位因为进位变成了1），这时，n与~n只有第k位都是1（即n的最低位的1），其他位置数都不相等，再用n&(~n+1)（&如果此位置都是1，返回1，否则返回0），所以返回了n最低位1以其他后边的0所构成的值。在补码（取反加以）的表示下，~n=-1-n，所以：n=~n+1，因此：lowbit(n)=n&(~n+1)=n&(-n). 好，lowbit()讲解结束，别看难证明，计算机里此种运算飞快（因为计算机本身就是二进制的）。
（so~ lowbit与树状数组有what关系）
三、区间查询
再看上面的图，找找关系。（哇！没找见）很好，举个例子，还是7，咱们把7取lowbit，lowbit(7)=1,lowbit(7-1)=2,lowbit(7-1-2)=4，有没有什么发现，没错，它一直取lowbit可以得到它每段的长度（没个啥子用呀），再看，7，7-1=6，7-1-2=4，c[7]+c[6]+c[4]=结果。（这回总算有用了）
上代码！
查询前缀和（没错，你已经掌握了树状数组支持的基本操作之一————查询前缀和）
inline int ask(int x) {//x的前缀和 int ans=0; for(; x; x -= x & -x) ans+=c[x]; return ans; }
那为啥要查询前缀和呢？照常举例子，比如咱们要查询[l,r]中所有数的和，咱们只需要计算ask(r)-ask(l-1)。
四、单点修改
树状数组支持的第二个操作是单点修改（此处运用单点增加，变化不大）。
咱们再看看lowbit与上面的图，很好，你还是看不出来，举个例子，还是7，咱们把7取lowbit，lowbit(7)=1,lowbit(7+1)=8,lowbit(7+1+2)=16，再看，7，7+1=8，7+1+8=16，c[16]包括c[8]，c[8]包括c[7]。
当咱们修改了a[x]（假设将a[x]加上b），咱们同时也要将它的祖先（包含它的c[]）全部修改，这样才能支持查询前缀和的操作。
上代码！
单点增加
inline void add(int x,int b) {//将序列中一个数a[x]及其祖先加上b; for(; x<=n; x += x & -x) c[x]+=b; }
没错你学会了，树状数组！
值得注意的是，当你输入原数组时记得也要执行add(x,a[x]).
for(int i=1;i<=n;i++) { cin>>a[i]; add(i,a[i]); }
五、支持单点修改、区间查询的树状数组全貌
来！欣赏（姑且瞎看）一下代码的全貌吧！
#include<iostream> #include<cstdio> #include<algorithm> using namespace std; int n,m; int a[500008],c[500008]; inline void add(int x,int b) { for(; x<=n; x += x & -x) c[x]+=b; } inline int ask(int x) { int ans=0; for(; x; x -= x & -x) ans+=c[x]; return ans; } int main() { cin>>n>>m; for(int i=1;i<=n;i++) { cin>>a[i]; add(i,a[i]); } while(m--) { int p,x,k; cin>>p>>x>>k; if(p==1) add(x,k); else cout<<ask(k)-ask(x-1)<<endl; } }
六、支持区间修改、单点查询的树状数组
先来区间修改，不知你是否有听过差分。差分是一种很常见又很神奇的算法，它可以通过改变两个点的值，使整段区间发生修改。
差分讲解：假设a[]为原数组，b[]为差分数组
则：b[i]=a[i]-a[i-1]
b[1]=a[1]-a[0] b[2]=a[2]-a[1] b[3]=a[3]-a[2] …… b[n]=a[n]-a[n-1]
若将a[i]到a[j]（i<j）同时加x，则b[i]以前并未发生改变，b[i]=b[i]+x,b[i+1]到b[j]（包括b[i+1]和b[j]）之间并未发生改变，b[j+1]=b[j+1]-x.
举个例子，将a[3]到a[7]同时加上x，因为b[3]以前的数字并不由a[3]到a[7]之间的数字得到，由于a[3]=a[3]+x，而a[2]=a[2]，所以b[3]（现在的）=(a[3]+x)-a[2]=a[3]-a[2]+x，b[3]（原来的）=a[3]-a[2]，所以b[3]（现在的）=b[3]（原来的）+x.因为a[3]到a[7]所有数字都加上了x所以b[4]到b[7]之间的数并没有发生变化，例子：b[4]（现在的）=(a[4]+x)-(a[3]+x)=a[4]-a[3]，b[4]（原来的）=a[4]-a[3]，所以b[4]（现在的）=b[4]（原来的）.可是到了b[8]的时候，a[7]=a[7]+x，而a[8]=a[8]，所以b[8]（现在的）=a[8]-(a[7]+x)=a[8]-a[7]-x，b[8]（原来的）=a[8]-a[7]，b[8]（现在的）=b[8]（原来的）-x.证毕。
这样我们就可以通过改变a[i]和a[j+1]的大小，将a[i]到a[j]全部改变了。
add函数并未发生变化
add函数
inline void add(int x,int y) { for(;x<=n;x+=(x&-x)) c[x]+=y; }
主函数有一些改变
add(a,c);add(b+1,-c);
通过改变两个点来改变整段添加操作。
（有啥子用？搞一堆乱七八糟的。）
再来单点查询。
它是很有用的，差分还有一个性质：差分与前缀和（前面所有数字相加的和）互逆。意思就是数组差分后求个前缀和等于原数组。
是不是恍然顿悟！（查询a[k]，就查询a[k]差分完后的前缀和）
没错，之前（支持单点修改、区间查询的树状数组）的查询方式就是查前缀和，所以查询代码还不用修改，甚至主程序里相关内容更简单了。
ask函数
inline int ask(int x) { int ans=0; for(;x;x-=(x&-x)) ans+=c[x]; return ans; }
主程序
cout<<ask(x)<<endl;
七、支持区间修改、单点查询的树状数组代码全貌
注意在输入原数组时记得也要用差分
for(int i=1;i<=n;i++) { scanf("%d",&a[i]); add(i,a[i]-a[i-1]);
}
好了上全部代码！
#include<iostream> #include<cstdio> #include<algorithm> using namespace std; int n,m; int a[500008],c[500008]; inline void add(int x,int y) { for(;x<=n;x+=(x&-x)) c[x]+=y; } inline int ask(int x) { int ans=0; for(;x;x-=(x&-x)) ans+=c[x]; return ans; } int main() { cin>>n>>m; for(int i=1;i<=n;i++) { scanf("%d",&a[i]); add(i,a[i]-a[i-1]); } for(int i=1;i<=m;i++) { int p; cin>>p; if(p==1) { int a,b,c; cin>>a>>b>>c; add(a,c);add(b+1,-c); } else { int x; cin>>x; cout<<ask(x)<<endl; } } }
（一堆骚操作，乱七八糟，跟直接用数组解决有区别吗？）
显然是有的。
七、复杂度正儿八经瞎七八证明
首先是支持单点修改、区间查询的树状数组，虽然修改的速度变慢了，从O(1)变成了O(log(n))，但它为查询操作提供了方便，使查询从O(n)变成了O(log(n)).
其次是支持区间修改、单点查询的树状数组，虽然查询的速度变慢了，从O(1)变成了O(log(n))，但它为修改操作提供了方便，使查询从O(n)变成了O(log(n)).
（没看出我是复制的吧！qwq）
八、树状数组解决逆序对
很好，在博主奋力的解说下（可能压根没人看到这里吧），和严谨的复杂度证明后，相信你已经对树状数组的基操有了很深的认识。
一起看一道，树状数组模版题吧！
输入样例：
6
5 4 2 6 3 1
输出样例：
11
是不是有些许蒙蔽。
我先说明一下逆序对：逆序对就是如果i > j && a[i] < a[j]，这两个就算一对逆序对，简单来说，所有逆序对的个数和就是找每一个数的前面有几个比他的大的数，他们加起来的和就是逆序对的总数
（这也能用树状数组？）
事实证明是可以的。
我要开始讲解了！（先自我思考一下！）
首先，我们将数b[i]输入，然后每次都把c[b[i]]++，查询c[b[i]]的后缀和（顾名思义，就是后面全部数字的和，但此处的后缀和不包括自己），此处的后缀和代表的就是在b[i]之前输入但大于b[i]的数（即：符合i > j && a[i] < a[j]）个数之和，也就是逆序对的个数。
例子来惹！
第一次把5的位置加1，它的后缀和（以下全为不包括自己的后缀和）为0，sum+=0（sum记录逆序对个数）
第二次把4的位置加1，它的后缀和为1，sum+=1
第三次把2的位置加1，它的后缀和为2，sum+=2
第四次把6的位置加1，它的后缀和为0，sum+=0
第五次把3的位置加1，它的后缀和为3，sum+=3
第五次把1的位置加1，它的后缀和为5，sum+=5
此时sum=11，输出sum。
（哇！明显炸了呀！序列数字不超过109呀，怎么存？）
没错！没错！而且很明显还没用到树状数组。那它到底如何实现的呢？
首先要离散化（有链接）！（因为需要用到桶的思想）
虽然每个数的值很大，但是（n<=5*105）却是可以开下的，离散化可以保证数字间的相对大小不变，而本题恰恰只需要这点。
代码！代码！
for(int i=1;i<=n;i++) { scanf("%d",&a[i]); A[i]=a[i]; } sort(a+1,a+n+1); int size=unique(a+1,a+n+1)-a; for(int i=1;i<=n;i++) { b[i]=lower_bound(a+1,a+size+1,A[i])-a; }
实现了把a[]（输入的数组），离散化成b[]。
接下来就是如何和树状数组联系了。
通过上述讲解，我们将问题简化为了，每次在c[b[i]]++，查询后缀和。（这不是树状数组所支持的单点修改，区间查询吗？）
先看单点修改。
同上文一样在b[i]的位置上加上1。
for(int i=1;i<=n;i++) { add(b[i],1);//添加操作 //sum+=i-ask(b[i]);//查询操作 }
（但是后缀和怎么办？我们求的是前缀和呀？）
i-前缀和=不包括自己的后缀和（因为i代表这是第几个数，而前缀和是1~i（因为每回只加1））
所以就解决了！
for(int i=1;i<=n;i++) { add(b[i],1); sum+=i-ask(b[i]); }
此题解将输入的数存在a[]，将离散化的数存在b[]（就是之前树状数组模版中的普通数组），树状数组用c[]。
代码全貌！
//用树状数组实现查询逆序对个数 #include<iostream> #include<algorithm> #include<cstdio> #include<cstring> using namespace std; int n,a[500005],A[500005],b[500005],c[500005]; long long sum; inline void add(int x,int b) { for(; x<=n; x += x & -x) c[x]+=b; } inline int ask(int x) { int ans=0; for(; x; x -= x & -x) ans+=c[x]; return ans; } int main() { scanf("%d",&n); for(int i=1;i<=n;i++) { scanf("%d",&a[i]); A[i]=a[i]; } sort(a+1,a+n+1); int size=unique(a+1,a+n+1)-a; for(int i=1;i<=n;i++) { b[i]=lower_bound(a+1,a+size+1,A[i])-a; } for(int i=1;i<=n;i++) { add(b[i],1); sum+=i-ask(b[i]); } printf("%lld",sum); }
记得开龙龙（long long）啊！不开龙龙见祖宗！
没开龙龙
开了龙龙
博主语录：
1、树状数组是真的神奇！不明白怎么想出来的。
2、树状数组虽然比较难理解，但是速度，和代码难度是真的优秀！建议勤加练习。
3、若是没能理解可以先看看线段树，几乎oi界的人都是先理解了线段树的。（可能是我太菜，目光短浅）
