2月27-第四次机试课记录

数学专题

坑

• 多组处理的时候，对于使用全局状态数组需要使用memset初始化

思路总结

• 二分法有多种写法

• 使用筛法进行打表预处理，进行优化

• 使用long long或者unsigned long long防止溢出

• 关于double的几个细节

  //double很大的时候，+-0.5会没有影响
  double d = 1e15;
  printf("%lf %lf %lf", d, d+0.5, d-0.5);
  
  //输入输出会有影响
  scanf("%lf", &d);
  printf("%f", d);//标准是f，有的允许使用lf
  

• 几个数学常用公式

  • sin，cos，tan：使用时候需要注意参数是弧度不是角度

  • asin，acos，atan返回值为弧度

  • PI=acos（-1）

  • abs，fabs分别计算整型，浮点数的绝对值

  • pow返回值为double，并且求幂效率低，还可能溢出（可以使用快速幂改进）

  • 距离

    • 欧式距离sqrt((x1-x2)(x1-x2) + (y1-y2)(y1-y2))
    • 曼哈顿距离：|x1-x2|+|y1-y2|

  • sqrt优化：计算一个数的因子，可以只枚举1-sqrt（n）【可以证明如果1-sqrt（n）都没有，那么sqrt（n）之后也没有】

  • 同余定理

    • (a±b)%mod = (a%mod±b%mod)%mod
    • (a*b)%mod = (a%mod*b%mod)%mod

  • 容斥原理

    • |A∪B| = |A|+|B| - |A∩B|
    • |A∪B∪C| = |A|+|B|+|C| - |A∩B| - |B∩C| - |C∩A| + |A∩B∩C|

  • GCD和LCM

    • GCD计算最大公约数，使用碾转相除法

      int gcd(int a, int b){
      	return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
      }
      
      int gcd(int a, int b){
      	return __gcd(a, b);//内置
      }
      

    • LCM计算最小公倍数

      int LCM(int a, int b){
      	return a / gcd(a, b) * b;//有个细节，要先除后乘，避免可能的溢出
      }
      

作业

• 1348
  • 第一个忘记多组处理初始化
  • 思路不对，计算水坑应该找左右两端，我只考虑了使用单调栈计算每个水柱右边最高的最近的柱子，这样导致2 0 1的数据会算不出来，因为2对应的柱子右边没有比它高的，没法计算水坑了。正确思路是从0对应的柱子，找左右，在计算
• 1034
  • 这题使用单调队列来保证子序列字典序最小，通过设置进入单调队列的元素的处理来设置子序列长度

题号

• PIPIOJ 1154 球的半径和体积(基本公式运用)

• PIPIOJ 1103 PIPI的数学题I (同余定理)

• PIPIOJ 1352 多个数最小公倍数（公约数与公倍数）

• PIPIOJ 1341 PIPI学容斥(容斥定理)

• PIPIOJ 1025 最短距离(欧几里得距离、二次函数求解)

• PIPIOJ 1013 防水堤坝(找规律难题)

• PIPIOJ 1018 士兵排阵(曼哈顿距离、中位数定理)

• PIPIOJ 1044 七夕节(根号优化 / 筛法)

• PIPIOJ 1053 哥德巴赫猜想III(筛法)

• PIPIOJ 1156 PIPI的土地(定积分)

• PIPIOJ 1109 PIPI的数学题VII(二分)

• PIPIOJ 1227 PIPI的算式(二分)

分析

• 1103

  • 使用同余定理，题目输入的数据超级大，一个思路使用大数来进行操作，一个就是考虑可以拆开解绝
  • 从前往后拆：一个数“223” = ((((2) * 10 + 2) * 10) + 3) * 10 ，然后每次加法与乘法都可以使用这个同余定理
  • 求余数需要每步都使用一次，而不是循环一使用一次，防止中间环节溢出
  • 对于可能出现负数的求余方法，需要先加一个mod再减去

• 1025

  • 一个计算欧几里德距离
  • 对于二元一次方程组的求解，分类讨论
    • 退化为1元方程或者对称轴为负数
    • 当对称轴可以取得的

• 1018

  • 对于曼哈顿距离，有行列无关的特性，所以对于x与y的操作可以分开
  • 一个中位数定理，对于一组数据，想要获得统一到一个数，使得变化量最小，那么统一到的这个数应该是中位数
  • 使用两次中位数定理，每次使用一次就使得相应数据统一，而变化量最小
    • 第一次对y使用，使得所有y统一，并且变化量最小
    • 第二次对x到对应的差值使用

• 1044

  • 使用筛法加打表预处理存储的方法进行优化，更快

    query[1] = 1;
    for(int i=1;i<N;i++){
        for(int j=i+i;j<N;j+=i){
            query[j]+=i;
        }
    }
    

  • 使用sqrt优化，更慢

• 1053

  • 使用埃氏筛法，可以在nloglogn就完成

    void init(){
    memset(p,false,sizeof(p));
        for(int i=2;i<N;i++){
            if(!p[i]){
                idx[id++] = i;//用于保存质数
                for(LL j=(LL)i*i;j<N;j+=i){
                    p[j] = true;
                }
            }
        }
    }