问题
BSGS被用于求解离散对数，即同余方程：
[A^xequiv Bpmod{P}
]
求(x)的最小非负整数解。
保证(Aperp P)(互质)。
分析
首先，我们根据费马小定理，有
[A^{P-1}equiv 1pmod{P}
]
则显然有
[A^{x-k(P-1)}equiv A^xpmod{P}
]
即
[A^{xmod{P-1}}equiv A^xpmod{P}
]
那么显然(x<P-1)，我们就得到了一个(O(P))的算法，然而太慢了。
考虑分块算法，对(x)每(m)分一块，则有
[A^{im-j}equiv Bpmod{P}
]
移项整理
[left(A^m
ight)^iequiv A^j Bpmod{P}
]
那么我们枚举(i)，就可以求出(A^j)。再对于(jin[0,m-1])的(A^j)存进哈希表/map，就可以得到(x=im-j)了。如果不考虑查询哈希表/map的时间，则时间复杂度为(O(m+frac{P}{m}))。
那(m)应该取何值呢？由基本不等式显然有：
[m+frac{P}{m}gesqrt{mfrac{P}{m}}=sqrt{P}
]
当(m=frac{P}{m})时取等。
那么我们令(m=lceilsqrt{P} ceil)，就得到了一个(O(sqrt{P}))的算法。
代码
(-1)为无解。
ll BSGS(ll a,ll b,ll p){
if(!a)return b?-1:1;
if(b==1)return 0;
map<ll,ll>mp;
ll m=ceil(sqrt(p)),ax=1;
for(int i=0;i<m;i++){
mp[ax]=i;
ax=ax*a%p;
}
ll am=pow(a,m,p),aj=am*pow(b,p-2,p)%p;
for(int i=1;i<=m;i++){
if(mp.count(aj))return m*i-mp[aj];
aj=aj*am%p;
}
return -1;
}
例题
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<map>
using namespace std;
typedef long long ll;
int t,k;
ll y,z,p;
ll pow(ll a,ll b,ll p){
ll ans=1;
while(b){
if(b&1)ans=ans*a%p;
a=a*a%p;
b>>=1;
}
return ans;
}
ll BSGS(ll a,ll b,ll p){
if(!a)return b?-1:1;
if(b==1)return 0;
map<ll,ll>mp;
ll m=ceil(sqrt(p)),ax=1;
for(int i=0;i<m;i++){
mp[ax]=i;
ax=ax*a%p;
}
ll am=pow(a,m,p),aj=am*pow(b,p-2,p)%p;
for(int i=1;i<=m;i++){
if(mp.count(aj))return m*i-mp[aj];
aj=aj*am%p;
}
return -1;
}
int main(){
scanf("%d%d",&t,&k);
while(t--){
scanf("%lld%lld%lld",&y,&z,&p);
if(k==1)printf("%lld
",pow(y,z,p));
else if(k==2){
if(y%p==0)printf("Orz, I cannot find x!
");
else printf("%lld
",pow(y,p-2,p)*z%p);
}else{
ll ans=BSGS(y%p,z%p,p);
if(~ans)printf("%lld
",ans);
else printf("Orz, I cannot find x!
");
}
}
}