【51Nod1386】双马尾机器人（分块+dp）

对于这种找互质的数的集合的题，一般是讨论每个数的质因子会不会有重复。

听说这种互质的题把质因子分为小于 $\sqrt{n}$ 和大于 $\sqrt{n}$ 是经典套路？

因为当 $n$ 很小的时候，小于 $\sqrt{n}$ 的质数并不多。比如对于这一题，小于 $\sqrt{N=1000}$ 的数只有 $11$ 个。

那么对于那些只有小于 $\sqrt{N}$ 的质因子的数进行状压 dp，设 $dp(i,j)$ 为前 $i$ 个数中，所有选出的数的所有质因子的状态为 $j$（只考虑小于 $\sqrt{N}$ 的质因子）。

$j$ 的定义：如果选出的数的所有质因子中出现了第 $k$ 个质数，那么把 $j$ 在二进制下的第 $k$ 位设为 $1$，否则为 $0$。

例如，如果出现了 $2$（第 $1$ 个质数）、$5$（第 $3$ 个质数）和 $7$（第 $4$ 个质数的话），$j$ 就应该是 $(1101{)}_2$。

那么假设 $dp(i-1)$ 都已经计算完毕，现在要计算 $dp(i,j|sta[i])$，其中 $j$ 是某个状态，$sta[i]$ 是 $i$ 的质因子状态。那么现在考虑的是状态 $j|sta[i]$。

1. $dp(i,j|sta[i])=dp(i-1,j|sta[i])$。意思就是前 $i-1$ 个数中已经选出了状态 $j|sta[i]$，那么数 $i$ 肯定不能在加入这个方案内（不然不互质），所以选的数不增不减。

2. $dp(i,j|sta[i])=dp(i-1,j+1-(max{p}_i>11))$。意思就是前 $i-1$ 个数中已经选出了状态 $j$，那么现在肯定可以加入数 $i$。但是由于我们这里只考虑加入质因子都小于 $\sqrt{N}$ 的情况，所以要减去一个 $max{p}_i>11$。

现在对只有小于 $\sqrt{N}$ 的质因子的数都处理完了，那么对于含有大于 $\sqrt{N}$ 的质因子的数怎么处理呢？（不妨设所有大于 $\sqrt{N}$ 小于 $N$ 的质数有 $m$ 个）

不难发现，这些数恰好仅含有一个大于 $\sqrt{N}$ 的质因子。所以我们至少要选 $m$ 个数才能保证是“极大方案”。又因为要保证选的数最少，所以要恰好选 $m$ 个就行了。

最后可以把 $1$ 也取上。

代码：

#include<bits/stdc++.h>

#define N 1010
#define INF 0x7fffffff

using namespace std;

int t,n,k;
int cnt,prime[N],maxp[N],sta[N];
int dp[2][1<<12];
bool notprime[N];

void init()
{
	for(int i=2;i<=1000;i++)
	{
		if(!notprime[i])
		{
			prime[++cnt]=i;
			maxp[i]=cnt;
			sta[i]=(cnt<=11?(1<<(cnt-1)):0);
		}
		for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=1000;j++)
		{
			int v=i*prime[j];
			notprime[v]=true;
			maxp[v]=max(maxp[i],j);
			sta[v]=sta[i]|(j<=11?(1<<(j-1)):0);
		}
	}
}

int main()
{
	init();
	scanf("%d",&t);
	for(int T=1;T<=t;T++)
	{
		scanf("%d%d",&n,&k);
		int m=1;
		while(prime[m]<=n) m++;
		m--;
		int tmp=max(0,m-11);
		m=min(m,11);
		int mpow=(1<<m);
		for(int i=0;i<mpow;i++) dp[0][i]=INF;
		dp[0][0]=0;
		int now=1;
		for(int i=1;i<=n;i++,now^=1)
		{
			for(int j=0;j<mpow;j++) dp[now][j]=dp[now^1][j];
			if(i==k) continue;
			for(int j=0;j<mpow;j++)
				if(!(j&sta[i])&&dp[now^1][j]!=INF)
					dp[now][j|sta[i]]=min(dp[now^1][j|sta[i]],dp[now^1][j]+1-(maxp[i]>11));
		}
		printf("Case #%d: %d
",T,dp[now^1][mpow-1]+tmp+(k!=1));
	}
	return 0;
}