概率基础

互斥事件：AB=Φ，A和B都发生是不可能事件

并：AUB表示两个事件至少发生一个事件。

交：A∏B表示A和B都发生也表示为AB。

逆事件：（对立事件）为A不发生的事件。

1.古典概率：若试验结果只有有限n个，且每个样本点出现的机会均等，则每个样本点出现的概率为1/n

2.几何概率：向有限区域G内随机地抛掷一点M，如果点M落在G的子区域g内的可能性与g的测度（长度、面积、体积）成正比，而与g的形状、位置无关，则称M落在区域G内是等可能或均匀的。

3.定义：P(A|B)为已知B发生的条件下，A发生的概率，可表示为

P(A|B)=P(AB)/P(B).即在B发生的条件下，A和B都发生的概率，就是P(A|B)

例子：100个产品中有93个产品长度合格，90个产品重量合格，85个产品长度、重量都合格，令A={产品长度合格}，B={产品重量合格}，

则

产品长度合格的概率：P(A)=93//100

产品重量合格的概率：P(B)=90//100

产品长度和重量都合格的概率为：P(AB)=85/100

现在任取一个产品，已知它重量合格，则长度合格的概率：P(A|B)=P(AB)/P(B)=85/90

4.乘法公式：P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)

5.全概率公式：

例子：袋中有5个白球，4个黑球。每次取两个，问第二次取到一个白球，一个黑球的概率。

令Ai为第一次取到i个白球的概率，i=0,1,2。B为第二次取到一个白球一个黑球的概率

可以看出，Ai是互斥事件，即A1UA2UA0=Ω。

则P（B）=P(B(A1UA2UA0))=P(BA0)+P(BA1)+P(BA2)=P(B|A0)P(A0)+P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)=ΣiⁿP(B|Ai)P(Ai)

6.贝叶斯公式：由结果探求原因

如果B属于A1UA2UA3U...UAn,且Ai两两互斥，则

P(Ai|B)=(P(B|Ai)P(Ai))/ΣiⁿP(B|Ai)P(Ai)

例子：发射信号由0.1两个数码组成。已知发“0”的概率是0.4，由于干扰，发0收0的概率是0.95，发1收1的概率是0.9.现已知收到信号1，问发1的概率？

设B={收到信号1}，A={发射信号1}

则 P(A|B)=P(B|A)P(A)/P(B)=P(B|A)P(A)/(P(B|A)P(A)+P(B|A¯)P(A¯))=(0.9*0.6)/(0.9*0.6+(1-0.95)*0.4)=27/28.

7 事件的独立性：如果两个事件A，B，B发生与否不影响A发生的概率，则称A独立与B，反之成立。

两个事件独立是因为两个事件不属于同一个样本空间，两个事件互斥时，这两个事件属于同一个样本空间。

8.n重伯努利试验：

只有两个结果的试验，称为伯努利试验，或者只关注某一事件是否发生作为一个结果，该事件的反事件作为另一种结果，也可以称为伯努利试验。

n重伯努利试验中，若u表示“成功”的次数，则公式：

P(u=k)=C^k_n p^k(1-p)^1-k

表示u次成功的概率，将上式也称为二项分布，u~b(n,p),n表示样本空间大小，p表示成功概率。

例如，某人独立射击5次，若每次命中率为p，求恰好命中k次的概率，可用上式表达。