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    [USACO18OPEN]Talent Show && 18.09.21模拟赛T2 mynameiszbt

    洛谷P4377 传送门

    01分数规划。

    下面直接搬来出题人zhx大佬的题解,感觉写的比网上的都好。

    设有n组数据a,b,对于每一组数据,都有选和不选两种状态(设状态为x,选则x=1,不选则x=0),现在欲求出所有选中的数据中,∑a/∑b的最大值。

    接下来是一些数学问题:

    设原式最大值为R,R=∑(ai·xi)/∑(bi·xi)

    若设L为某一种不那么优的选法,则恒有R>=L

    则:∑(ai·xi)/∑(bi·xi)>=L

    于是:∑(ai·xi)>=∑(bi·xi)·L

    那么:∑(ai·xi)-∑(bi·xi)·L>=0

    所以:∑((ai-bi·L)·xi)>=0

    所以我们构造一个函数f(L),f(L)=∑((ai-bi·L)·xi)

    这时我们讨论一下函数f(L)的性质:

    根本性质一:首先,对于所有有意义的R,L,f(L)>=0,

    根本性质二:其次,设d=ai-bi·L,则d随L单调递减!

    那么我们会发现,如果L足够大,那么无论x如何取值,所得函数值均小于0!

    这就与根本性质一相矛盾。

    于是我们发现,一定存在一个临界状态的L能够使得∃f(L)>=0,而使得∀f(L+1)<0!

    同时我们发现,如果我们求出了L的最大值,那么这个最大值其实就等价于R的值

    而且这个L满足单调性,故可以二分答案!

    对于每个L,我们仅需按贪心地求出f(L)最大值,判断其正负即可。

    当然,对于本题,需要dp出最值即可,利用01背包。

    本人对于01分数规划的理解:

    把要解决的问题转换为可二分答案的式子。

    至于为什么要用背包:因为这道题有一个总质量不小于W的限制,所以用背包求解。

    设f[i]为质量为i的时候,f(L)的最大值,最后判断f(L)是否合法(是否大于0)。

     1 #include<cstdio>
     2 #include<cstring>
     3 #include<algorithm>
     4 #define ll long long
     5 using namespace std;
     6 
     7 int n,tot;
     8 int w[255],t[255];
     9 ll f[1005];
    10 
    11 int check(int k)
    12 {
    13     for(int i=1;i<=tot;i++)f[i]=-0x3f3f3f3f;
    14     f[0]=0;
    15     for(int i=1;i<=n;i++)
    16     {
    17         for(int j=tot;j>=0;j--)
    18         {
    19             if(f[j]==-0x3f3f3f3f)continue;
    20             int nw=min(tot,j+w[i]);
    21             f[nw]=max(f[nw],f[j]+t[i]-(ll)w[i]*k);
    22         }
    23     }
    24     return f[tot]>=0;
    25 }
    26 
    27 int main()
    28 {
    29     //freopen("mynameiszbt.in","r",stdin);
    30     //freopen("mynamelszbt.out","w",stdout);
    31     scanf("%d%d",&n,&tot);
    32     for(int i=1;i<=n;i++)
    33         scanf("%d%d",&w[i],&t[i]),t[i]*=1000;
    34     int ans=0;
    35     for(int i=20;i>=0;i--)
    36         if(check(ans|(1<<i)))ans|=(1<<i);
    37     printf("%d",ans);
    38     //fclose(stdin);
    39     //fclose(stdout);
    40     return 0;
    41 }
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    另外,01分数规划还可以应用到树上和图里。

    网上有好多这样的题啊我都没做过。

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/eternhope/p/9689445.html
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