• 平衡二叉树


     

    1概述


    我们知道,对于一般的二叉搜索树(Binary Search Tree),其期望高度(即为一棵平衡树时)为log2n,其各操作的时间复杂度(O(log2n))同时也由此而决定。但是,在某些极端的情况下(如在插入的序列是有序的时),二叉搜索树将退化成近似链或链,此时,其操作的时间复杂度将退化成线性的,即O(n)。我们可以通过随机化建立二叉搜索树来尽量的避免这种情况,但是在进行了多次的操作之后,由于在删除时,我们总是选择将待删除节点的后继代替它本身,这样就会造成总是右边的节点数目减少,以至于树向左偏沉。这同时也会造成树的平衡性受到破坏,提高它的操作的时间复杂度。

    平衡二叉搜索树(Balanced Binary Tree)具有以下性质:它是一棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1,并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。常用算法有红黑树、AVL、Treap、伸展树等。在平衡二叉搜索树中,我们可以看到,其高度一般都良好地维持在O(log2n),大大降低了操作的时间复杂度。

    2算法

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    红黑树

    红黑树是一种自平衡二叉查找树,是在计算机科学中用到的一种数据结构,典型的用途是实现关联数组。它是在1972年由Rudolf Bayer发明的,他称之为"对称二叉B树",它现代的名字是在 Leo J. Guibas 和 Robert Sedgewick 于1978年写的一篇论文中获得的。它是复杂的,但它的操作有着良好的最坏情况运行时间,并且在实践中是高效的: 它可以在O(log n)时间内做查找,插入和删除,这里的n是树中元素的数目。

    AVL

    AVL是最先发明的自平衡二叉查找树算法。在AVL中任何节点的两个儿子子树的高度最大差别为一,所以它也被称为高度平衡树。查找、插入和删除在平均和最坏情况下都是O(log n)。增加和删除可能需要通过一次或多次树旋转来重新平衡这个树。

    Treap

    Treap是一棵二叉排序树,它的左子树和右子树分别是一个Treap,和一般的二叉排序树不同的是,Treap纪录一个额外的数据,就是优先级。Treap在以关键码构成二叉排序树的同时,还满足堆的性质(在这里我们假设节点的优先级大于该节点的孩子的优先级)。但是这里要注意的是Treap和二叉堆有一点不同,就是二叉堆必须是完全二叉树,而Treap并不一定是。

    伸展树

    伸展树(Splay Tree)是一种二叉排序树,它能在O(log n)内完成插入、查找和删除操作。它由Daniel Sleator和Robert Tarjan创造。它的优势在于不需要记录用于平衡树的冗余信息。在伸展树上的一般操作都基于伸展操作。

    SBT

    Size Balanced Tree(简称SBT)是一自平衡二叉查找树,是在计算机科学中用到的一种数据结构。它是由中国广东中山纪念中学陈启峰发明的。陈启峰于2006年底完成论文《Size Balanced Tree》,并在2007年的全国青少年信息学奥林匹克竞赛冬令营中发表。由于SBT的拼写很容易找到中文谐音,它常被中国的信息学竞赛选手和ACM/ICPC选手们戏称为“傻B树”、“Super BT”等。相比红黑树AVL树等自平衡二叉查找树,SBT更易于实现。据陈启峰在论文中称,SBT是“目前为止速度最快的高级二叉搜索树”。SBT能在O(log n)的时间内完成所有二叉搜索树(BST)的相关操作,而与普通二叉搜索树相比,SBT仅仅加入了简洁的核心操作Maintain。由于SBT赖以保持平衡的是size域而不是其他“无用”的域,它可以很方便地实现动态顺序统计中的select和rank操作

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