线性代数学习笔记（六）

行列式

只有正方形的矩阵有行列式！行列式的应用概括来有三：

• 用一种完全不如高斯消元法的办法（叫做Cramer's Rules），来解线性方程组（而且还只能用在n*n矩阵上- -！）
• 有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广（好像很神奇）
• 求特征值（这个很有用）

行列式的性质

性质1,2,3是basic properties，用这三条性质可以计算任意一个矩阵的行列式|A|:

性质1：n*n 单位矩阵 行列式= 1

性质2：行交换 → 行列式变号

性质1和2一起就可以推导出permutation matrix的行列式了

性质3：每一行的线性变换 都会影响 行列式的值

线性变换 = ①数乘，②加减

这很像长方形的边与面积的关系：长（第一行）*2，宽（第二行）不变，面积*2（长影响一次）；长*2，宽*2，面积*4（长影响一次，宽再影响一次，每一行都会影响值！）

用性质1,2,3就能把任意矩阵的行列式拆成：一小撮卓有贡献的permutation矩阵（秩不等0） 和 一大波吊儿郎当的无用矩阵（秩等于0） （上面第一行可以拆成三个矩阵，对这三个的每一个拆第二行。。以此类推，可以想象拆出来的矩阵个数何其之多）

后面的性质可以从前面三条推理得到。

性质4：两行雷同→行列式=0

性质2告诉我们，交换这两行（这里交换了等于没交换），行列式变号，所以只能为0

性质5：某一行 减去 其他行*anyNum →行列式不变

( egin{vmatrix}a & b\ c-la &d-lb end{vmatrix}=egin{vmatrix}a & b\ c &d end{vmatrix}+egin{vmatrix}a & b\ -la &-lb end{vmatrix}=egin{vmatrix}a & b\ c &d end{vmatrix}+0 )

第一个等号来自性质3，第二个来自性质4.

elimination不会影响行列式

性质6：某一行都为0→行列式=0

对这一行线性变换，值不变，由此得到只能是0。

性质7：上三角矩阵→行列式=∏（对角元素）

通过性质5来消去所有非对角线元素，再将系数一个个提取出来。

性质8：行列式=0 <=> 矩阵奇异，不可逆

联系消元过程。

性质9：|AB|=|A|*|B|

这个性质证明比较麻烦，略过，讲讲应用：

• |A^-1|*|A|=1，A与它的逆的行列式互为倒数，（说明可逆矩阵秩不能是1）
• |A²|=|A|*|A|
• |2A|=2ⁿ*|A|

性质10：转置之后，行列式不变

|A'|=|A|  <=>   |U'L'|=|LU|  <=>  |U'||L'|=|L||U|

这条性质让以上对行的操作，都可以等效在列上！

求解行列式的方法

pivot 

A=LU，转化为L和U之后，|A|=|L|*|U|，由于L和U都是三角矩阵，行列式好求

Big Formula

用性质1,2,3就能把任意矩阵的行列式拆成：一小撮卓有贡献的permutation矩阵（秩不等0） 和 一大波吊儿郎当的无用矩阵（秩等于0） ，big formula就是这一小撮permutation矩阵：

这些矩阵的性质是：原矩阵的每一行、每一列都只留下一个元素，构成新矩阵。挑选第一行元素有n种选法，第二行有n-1种。。一共有n!种（n的阶乘），即一共有n!项需要相加。

Cofactor 代数余子式

Big Formula一下给出n!项一起算，实在有些不方便。Cofactor 将与某个entry相乘的 factor（因子）提取出来，形成cofactor。

A去掉第i行第j列之后，剩下的部分拼起来是 a_ij 的余子式，记为 M_ij ，再乘以(-1)^i+j，得到 a_ij 的Cofactor C_ij = (-1)^i+j * M_ij

几步初等行变换之后，得到一行（or一列）零比较多的，然后再使用Cofactor大法：求这行（这列）的∑a_ij * C_ij=∑a_ij * (-1)^i+j * M_ij