一、什么时候使用二分？：
大部分人接触二分应该二分查找算法，二分查找可以在一个有序区间中，找到指定的元素x的下标。
这里有两点：1、区间是有序的，即区间要满足一定条件。2、我们要找的数也有一定条件，二分查找要求找的数一定要等于x。
我们再看两题：
题目给出的是按照升序排列的整数数组，要求一个元素k的起始终止位置，也就是第一个等于k的数和最后一个等于k的数。
题目给出一个山脉数组，即在峰顶元素左边升序排列，右边降序，可以算是半有序的状态。要找的就是峰顶元素。
可以看到，都满足我们提出的两个条件。当我们看到一个有一定条件分布的数组，要我们寻找一个较为特殊的值时，我们就可以考虑使用二分来做。
二、二分模板：
大部分人最早接触二分算法应该都是二分查找算法，但是二分能做的远不止与此。二分算法的核心在于一个check(mid)函数，只要这个函数能够将给定的序列划分为两个区间，一个满足check(mid)，一个不满足。就可以根据模板查找目标值。
二分总体上可以分为两个模板，需要根据情况选择使用。
1、模板一：
int binary_search() {
int l = 0, r = n - 1;
while (l < r) {
int mid = (l + r) / 2;
if (check(mid)) r = mid;
else l = mid + 1;
}
return l;
}
2、模板二：
int binary_search() {
int l = 0, r = n - 1;
while (l < r) {
int mid = (l + r + 1) / 2;
if (check(mid)) l = mid;
else r = mid - 1;
}
return l;
}
两个模板的关键都在4~6行，即如何划分区间。模板一会将区间划为([l, mid]和[mid+1, r])，而模板二会将区间划为([l, mid-1]和[mid, r])。这就是模板最重点的区别。
模板上实际也是可以互换的
-
两个模板最后返回时，都有(l ==r)，且(l、r)都等于划分的第一个区间的右端点，即mid或mid - 1。
-
模板二求mid时需要+1，这是为了防止死循环。
三、模板使用：
下面画图说明两个模板的区别和应用：
如果只想记住模板直接使用，有一个很好理解的方法。我们设xxx表示不满足check(mid)的序列元素，ooo表示满足，v表示我们需要的数。假设题目要求找到0到n之间的>5的第一个数，我们的序列类似这样。
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ... n
x x x x x x v o o o o ... o
可以看到，序列被划分成左边不满足、右边满足。我们要找的数就是第一个满足check(mid)的值，面对这样的划分区间，就可以套用模板一。
假设要找 <= 5的最后一个数，我们的序列如下：
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ... n
o o o o o v x x x x x ... x
序列左边满足、右边不满足check(mid)。v就是最后一个满足check(mid)的值，这样的划分区间就可以套用模板二。
最后总结一下二分的思路：
- 首先把序列写出来，判断题目要求的是满足某一要求的第一个值而是最后一个值。
- 接着根据要求画出这样的划分情况分析。
- 如果形如x x x x v o o o，选择模板一，形如o o o v x x x，选择模板二。
三、思考：
我们知道模板一模板二最后的l、r值是相同的，在模板一、二中分别等于mid、mid-1。两个模板也是可以相互转换的，第一个不满足check(mid)的值也就是最后一个满足check(mid)的值的下一个值。因此模板二的check(mid)改称与模板一的完全相反的判断函数，最后模板二返回l+1，就可以得到与模板一相同的答案。但是不建议这样使用。
其次check(mid)函数选择还是有一定技巧的，如果不考虑像上面那样更改模板。那么check(mid)就决定了我们该使用哪个模板。