BZOJ4555: [Tjoi2016&Heoi2016]求和

题意：求给定n，求这个式子%一个NTT模数的值。  $ f(n) = sumlimits_{i = 0}^n {sumlimits_{j = 0}^i {s(i,j)*{2^j}*j!} } $ 其中S（i，j）为第二类斯特林数。

题解：首先根据第二类斯特林数的定义，我们可以把第二个sigma上界变成n（这里很关键，就是因为这个没看出来导致没推出卷积形式。。）

根据第二类斯特林数的公式，式子可以写成 

$ egin{array}{l}f(n) = sumlimits_{i = 0}^n {sumlimits_{j = 0}^n {sumlimits_{k = 0}^j {{{( - 1)}^k}*frac{{{{(j - k)}^i}}}{{k!(j - k)!}}} {2^j}*j!} } \end{array} $

再把i的sigma丢到后面去 $ egin{array}{l}f(n) = sumlimits_{j = 0}^n {sumlimits_{k = 0}^j {{{( - 1)}^k}*frac{{sumlimits_{i = 0}^{ m{n}} {{{(j - k)}^i}} }}{{k!(j - k)!}}} {2^j}*j!} \end{array} $

或者写成这样更显然一点 $ egin{array}{*{20}{l}}{f(n) = sumlimits_{j = 0}^n {{2^j}*j!sumlimits_{k = 0}^j {frac{{{{( - 1)}^k}}}{{{ m{k!}}}}*frac{{sumlimits_{i = 0}^{ m{n}} {{{(j - k)}^i}} }}{{(j - k)!}}} } }end{array} $

这个式子就是个卷积，直接NTT咯。

这道题有些坑点，首先对于卷积那一部分里我们要弄一个等比数列求和，这里公比为1的时候要注意一下（还记得等比数列求和公式要分类讨论吗？）

然后还有对于第0项的讨论。这些都要注意。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
#define mod 998244353
#define N 400005
#define G 3

inline LL read(){
    int x=0,f=1; char a=getchar();
    while(a<'0' || a>'9') {if(a=='-') f=-1; a=getchar();}
    while(a>='0' && a<='9') x=x*10+a-'0',a=getchar();
    return x*f;
}

int n,fac[N],nfac[N],two[N],a[N],b[N],f[N],ans;

inline int fpow(int x,int k){
    int ret=1;
    while(k){
        if(k&1) ret=1LL*ret*x%mod;
        k>>=1; x=1LL*x*x%mod;
    }
    return ret;
}

namespace NTT{
    int rev[N],wn[30];
    
    inline void getwn(){for(int i=1,t=2;i<20;i++,t<<=1) wn[i]=fpow(G,(mod-1)/t);}
    
    inline void ntt(int x[],int len,int f){
        for(int i=1;i<=len;i++) if(i<rev[i]) swap(x[i],x[rev[i]]);
        for(int t=1,lnow=2;lnow<=len;lnow<<=1,t++){
            for(int i=0;i<len;i+=lnow){
                int w=1;
                for(int j=i;j<i+lnow/2;j++){
                    int t1=x[j],t2=1LL*w*x[j+lnow/2]%mod;
                    x[j]=(t1+t2)%mod;
                    x[j+lnow/2]=((t1-t2)%mod+mod)%mod;
                    w=1LL*w*wn[t]%mod;
                }
            }
        }
        if(f==-1){
            for(int i=len/2;i+1;i--) swap(x[i],x[len-i]);
            int inv=fpow(len,mod-2);
            for(int i=0;i<=len;i++) a[i]=1LL*a[i]*inv%mod;    
        }
    }
    
    inline void work(int a[],int b[],int l1,int l2){
        int len,t;
        for(len=1,t=0;len<=(l1+l2+1);len<<=1,t++); t=1<<(t-1);
        for(int i=1;i<=len;i++) rev[i]=rev[i>>1]>>1|(i&1?t:0);
        ntt(a,len,1); ntt(b,len,1);
        for(int i=0;i<=len;i++) a[i]=1LL*a[i]*b[i]%mod;
        ntt(a,len,-1);
    }
}

int main(){
    NTT::getwn();
    n=read(); 
    fac[0]=1; for(int i=1;i<=n;i++) fac[i]=1LL*fac[i-1]*i%mod;
    nfac[n]=fpow(fac[n],mod-2); for(int i=n-1;i+1;i--) nfac[i]=1LL*nfac[i+1]*(i+1)%mod;
    two[0]=1; for(int i=1;i<=n;i++) two[i]=1LL*two[i-1]*2%mod;
    for(int i=0;i<=n;i++) f[i]=1LL*two[i]*fac[i]%mod;
    for(int i=0;i<=n;i++) a[i]=1LL*(fpow(i,n+1)-1)*fpow(i-1,mod-2)%mod*nfac[i]%mod,a[i]=(a[i]+mod)%mod;
    a[0]=1; a[1]=n+1; //就是这里
    for(int i=0;i<=n;i++) b[i]=(1LL*(i&1?-1:1)*nfac[i]%mod+mod)%mod;
    NTT::work(a,b,n,n);
    for(int i=0;i<=n;i++) ans=((LL)ans+1LL*f[i]*a[i]%mod)%mod;
    printf("%d
",ans+1);  //要把s（0,0）加上
    return 0;
}