行列式与矩阵笔记

一、行列式

n阶行列式

• 对角线法则  （只适用于三阶行列式）
• 行列式性质
• |A^T| = |A|
• 两行（列）互换，行列式变号
• 一行（列）为零，或两行（列）成比例，则|A|=0

行列式按行（列）展开

克拉默法则

如果线性方程组的系数行列式不等于0，那么方程组有唯一解；（非齐次线性）

#如果齐次线性方程组的系数行列式不等于0，则齐次线性方程组没有非零解；

二、矩阵

矩阵

• 零矩阵
• 方阵
• 单位阵
• 对角阵（方阵，不在对角线上的元素都是0）
• 伴随矩阵（由行列式的代数余子式得到） A*

矩阵加法

• 两个同型矩阵才能相加
• 满足交换律、结合律

数乘

乘法：AB，A的行数=B的列数

• 不满足交换律
• 满足结合律、分配律

# 对于两个n阶矩阵A与B，一般来说AB ≠ BA，只有当A与B可交换时，才有 (AB)^k = A^kB^k 。同理（A+B）²  与(A + B)(A - B)

矩阵的幂：只有方阵，它的幂才有意义；

转置

逆矩阵

• 定义：AB=BA=E， 则A可逆，A^-1 = B，且A^-1 唯一；
• 充要条件： A可逆   等价于  |A|≠0
• 求法：A^-1 =  A* /  |A|
• 逆矩阵在解矩阵方程中的应用： Y=AX, 则X= A^-1Y

当|A|=0时，A称为奇异矩阵，否则称为非奇异矩阵。

矩阵可逆，不一定可对角化：可逆要求满秩或行列式不等于0，可对角化要求有n个线性无关的特征向量。

矩阵分块

矩阵的秩

相似矩阵：矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，就称A与B等价

矩阵的秩：矩阵A的最高阶非零子式的阶数

 线性方程组的解与秩的关系：

• 无解
• 有唯一解
• 有无限多解