在前一篇中介绍了用HMM做中文分词，对于未登录词（out-of-vocabulary, OOV）有良好的识别效果，但是缺点也十分明显——对于词典中的（in-vocabulary, IV）词却未能很好地识别。主要是因为，HMM本质上是一个Bigram的语法模型，未能深层次地考虑上下文（context）。对于此，本文将介绍更为复杂的二阶HMM以及开源实现。
1. 前言
n-gram语法模型
n-gram语法模型用来：在已知前面(n-1)个词(w_1, cdots, w_{n-1})的情况下，预测下一个词出现的概率：
常见的n-gram有Unigram（一元）、Bigram（二元）、Trigram（三元），分别表示当前词出现的概率为自身词频、只与前面一个词相关、只与前面两个词相关；对应的计算公式如下：
egin{align}
ext{Unigram:} quad & hat{P} (w_3) = frac{f(w_3)}{N} cr
ext{Bigram:} quad & hat{P} (w_3|w_2) = frac{f(w_2, w_3)}{f(w_2)} cr
ext{Trigram:} quad &hat{P} (w_3|w_1,w_2) = frac{f(w_1, w_2, w_3)}{f(w_1,w_2)}
end{align}
其中，(N)为语料中总词数，(f(w_i))为词(w_i)在语料中出现的次数。
两种CWS模型
中文分词（Chinese word segmentation, CWS）的统计学习模型大致可以分为两类：Word-Based Generative Model与Character-Based Discriminative Model [3]. Word-Based Generative Model采用最大联合概率来对最佳分词方案建模，比如，对于句子(c_1^{n}=c_1, cdots, c_n)，最佳分词(w_1^m=w_1, cdots, w_m)应满足：
egin{equation}
arg mathop{max}limits_{w_1^m} P(w_1^m)
end{equation}
此模型可以简化为二阶Markov链（second order Markov Chain）——当前词的转移概率只与前两个词相关，即为Trigram语法模型：
egin{equation}
P(w_1^m) = prod_{i=1}{m}P(w_i|w_1{i-1}) approx prod_{i=1}{m}P(w_i|w_{i-2}{i-1})
end{equation}
Character-Based Discriminative Model采用类似与POS（Part-of-Speech）那一套序列标注的方法来进行分词：
egin{equation}
arg mathop{max}limits_{t_1^n} P(t_1^n | c_1^n)
label{eq:pos}
end{equation}
(t_i)表示字符(c_i)对应的B/M/E/S词标注。
HMM分词
根据贝叶斯定理，式eqref{eq:pos}可改写为
HMM做了两个基本假设：齐次Markov性假设与观测独立性假设，即
- 状态（标注）仅与前一状态相关；
- 观测相互独立，即字符相对独立：
- 观测值依赖于该时刻的状态，即字符的出现仅依赖于标注：
将上述三个等式代入下式：
因此，用HMM求解式子eqref{eq:pos}相当于
egin{equation}
arg mathop{max}limits_{t_1^n} prod_{i=1}^{n} [P(t_i|t_{i-1}) imes P(c_i|t_i)]
end{equation}
二阶HMM的状态转移依赖于其前两个状态，类似地，分词模型如下：
egin{equation}
arg mathop{max}limits_{t_1^n} left[ prod_{i=1}^{n} P(t_i|t_{i-1},t_{i-2}) P(c_i|t_i)
ight] imes P(t_{n+1}|t_n)
label{eq:tnt}
end{equation}
其中，(t_{-1},t_0,t_{n+1})分别表示序列的开始标记与结束标记。
2. TnT
论文[2]基于二阶HMM提出TnT (Trigrams'n'Tags) 序列标注方案，对条件概率(P(t_3|t_2, t_1))采取了如下平滑（smooth）处理：
为了求解系数(lambda)，TnT提出如下算法：
算法中，如果分母为0则置式子的结果为0.
3. Character-Based Generative Model
鉴于两种CWS模型的利弊：
- Word-Based Generative Model高召回IV、低召回OOV；
- Character-Based Discriminative Model高召回OOV，低召回IV
论文[3]结合两者提出了Character-Based Generative Model：
论文[3]中公式6的连乘下标k应为i，猜测应该是作者写错了。
4. 开源实现Snownlp
isnowfy大神在项目Snownlp实现TnT与Character-Based Discriminative Model；并且在博文中给出两者与最大匹配、Word-based Unigram模型的准确率比较，可以看出Generative Model的准确率较高。Snownlp的默认分词方案采用的是CharacterBasedGenerativeModel。
from snownlp import SnowNLP
s = SnowNLP('小明硕士毕业于中国科学院计算所，后在日本京都大学深造')
print('/'.join(s.words))
# 小明/硕士/毕业/于/中国/科学院/计算/所/，/后/在/日本/京都/大学/深造
# Jieba HMM: 小明/硕士/毕业于/中国/科学院/计算/所/，/后/在/日/本京/都/大学/深造
通过分析TnT、CharacterBasedGenerativeModel源码，发现作者在求解eqref{eq:tnt}、Generative Model的最大值都是采用穷举法，导致了较低的分词效率。此外，HanLP的作者hankcs大神给出了TnT算法的Java实现。
5. 参考资料
[1] Manning, Christopher D., and Hinrich Schütze. Foundations of statistical natural language processing. Vol. 999. Cambridge: MIT press, 1999.
[2] Brants, Thorsten. "TnT: a statistical part-of-speech tagger." Proceedings of the sixth conference on Applied natural language processing. Association for Computational Linguistics, 2000.
[3] Wang, Kun, Chengqing Zong, and Keh-Yih Su. "Which is More Suitable for Chinese Word Segmentation, the Generative Model or the Discriminative One?." PACLIC. 2009.
[4] isnowfy, 几种中文分词算法的比较
[5] hankcs, 基于HMM2-Trigram字符序列标注的中文分词器Java实现.