• 离散数学 第一章 命题逻辑 15重言式与蕴含式


    从上节真值表和命题的等价公式推证中可以看到,有些命题公式,无论对分量作何种指派,其对应的真值都为t或都为f,这两类特殊的命题公式在今后的命题演算中极为有用。为此,下面做详细的讨论。

    定义1-5.1 给定有命题公式,若无论对分量做怎样的指派,其对应的真值为t,则称该命题公式为重言式或永真公式。

    定义1-5.2 给定一命题公式,若无论对公式再哟怎样的指派,其对应的真值永为f,则称该命题为矛盾式或永假公式.

    定理1-5.1 任何两个重言式的合取或析取,仍然是一个重言式.

    证明设a和b为两个重言式,则不论a和b的分量指派任何真值,总有a为t,b为t,故a∧bût,a∨bût.

    定理1-5.2一个重言式,对同一分量都用任何合式公式置换,起结果仍为一重言式.

    证明 由于重言式的真值与分量的指派无关,故对同一分量以任何合式公式置换后,重言式的真值仍永为t.

    对于矛盾式也有类似于定理1-5.1和定理1-5.2的结果.

    例题1证明((p∨s)∧r)∨┓((p∨s)∧r)为重言式.

    证明 因为p∨┓pût,如以((p∨s)∧r))置换p即得

    ((p∨s)∧r))∨┓((p∨s)∧r)ût

    定理1-5.3设a、b为两个命题公式,aûb当且仅当a«b为一个重言式.

    证明 若aûb,则a、b有相同真值,即a«b永为t.

    若a«b为重言式,则a«b永为t,故a、b的真值相同,即aûb.

    例题2证明┓(p∧q)û (┓p∨┓q)

    证明 由上节例题4中表1-4.4可知,┓(p∧q)« (┓p∨┓q)为重言式,故据定理1-5.3

    ┓(p∧q)û (┓p∨┓q)

    我门知道,联结词«可以用→来表达.即:a«bû(a→b)∧(b→a)

    下面讨论a→b的重言式.

    定义1-5.8当且仅当p→q是一个重言式时,我们称“p蕴含q”,并记作pûq.

    因为p→q不是对称的,即p→q与q→p不等价,对p→q来说, q→p称为它的逆换式;

    ┓p→┓q称为它的反换式; ┓q→┓p称为它的逆反式,它们之间的关系如表1-5.1所示.

    从表1-5.1中看出:(p→q)û(┓p→┓q)
    (q→p)û(┓q→┓p)

    因此要证明pþq,只需证明┓qþ┓p,反之亦然.要证pþq,即证p→q是重言式。对于p→q来说,除p的真值取t,q的真值取f这样一种指派时,p→q的真值为f外,其余情况,p→q的真值为t.故要证pþq,只需对条件命题p→q的前件p,指定真值为t,若由此推出q的真值亦为t,则p→q是重言式,即pþq成立;同理,如对条件命题p→q中,假定后件q的真值取f,若由此推出p的真挚为f,即推出了┓q→┓p,故pþq成立.

    表1-5.1

    p

    q

    ┓p

    ┓q

    p→q

    ┓q→┓p

    q→p

    ┓p→┓q

    t

    t

    f

    f

    t

    t

    t

    t

    t

    f

    f

    t

    f

    f

    t

    t

    f

    t

    t

    f

    t

    t

    f

    f

    f

    f

    t

    t

    t

    t

    t

    t

         

    例题1推证┓q∧(p→q)þ┓p

    证法1假定┓q∧(p→q)为t,则┓q为t,且(p→q)为t.有q为f, p→q为t,则必须p为f,则┓p为t.

    证法2假定┓p为f,则p为t.
    (a):若q为f,则p→q为f,┓q∧(p→q)为f.
    (b):若q为t,则┓q为f,┓q∧(p→q)为f.
    所以┓q∧(p→q)þ┓p成立.

    表1-5.2所列各蕴含式都可如上述推理方法证明:

    表1-5.2

    p∧qþp

    1

    p∧qþq

    2

    pþp∨q

    3

    ┓pþp→q

    4

    qþp→q

    5

    ┓(p→q)þp

    6

    ┓(p→q)þ┓q

    7

    p∧(p→q)þq

    8

    ┓q∧(p→q)þ p

    9

    ┓p∧(p→q)þq

    10

    (p→q)∧(q→r)þp→r

    11

    (p∨q)∧(p→r)∧(q→r)þ r

    12

    (p→q)∧(r→s)þ(p∧r)→(q∧s)

    13

    (p«q)∧(r«s)þ(p«r)

    14

    就象联结词«和→的关系一样,等价式与蕴含式之间也有紧密的联系.

    定理1-5.4设p、q为任意两个命题公式,pû q的充分必要条件是pûq且qûp.

    证明 若pûq,则p«q为重言式,因为p«qû(p→q)∧(q→p),故p→q为t且q→p为t,即pþq,qþp成立.反之,若pþq且qþp,则p→q为t且q→p为t,因此p«q为t, p«q是重言式,即pûq.

    这个定理也可作为两个公式等价的定义.

    蕴含有下面几个常用的性质:
    (1)设a、b、c为合式公式,若aób且a是重言式,则b必是重言式.
           证明 因为a→b永为t,所以,当a为t时,b必永为t.
    (2)若a
    þb,bþc,则aþc,即蕴含关系是传递的.
           证明 由aþb,bþc,即a→b,b→c为重言式.所以(a→b)∧(b→c)为重言式.
       由表1-5.2的(11)式,(a®b)∧(b→c)þa→c,故由性质(1),a→c为重言式.即aþc.
    (3)若aþb,且aþc,那末aþ (b∧c).
           证明 由假设a→b, a→c为重言式.设a为t,则b、c为t,故b∧c为t.因此,a→(b∧c)为t.
           若a为f,则b∧c不论有怎样的真值,a→(b∧c)为t.
     所以, a
    þ (b∧c)
    (4)若aþb且bþc,则a∨cþb.
           证明  因为a→b为t,c→b为t,故(┓a∨b)∧(┓c∨b)为t.
           即(┓a∨┓c)∨b为t或a∨c→b为t.
           所以   a∨c
    þb

  • 相关阅读:
    codechef BIBOARD
    Tree
    NOIWC2021总结
    星际穿越
    GDKOI总结
    lg4229
    P3320 [SDOI2015]寻宝游戏
    P6670 [清华集训2016] 汽水
    P6326 Shopping
    P3060 [USACO12NOV]Balanced Trees G
  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/emanlee/p/1799097.html
Copyright © 2020-2023  润新知