前面已经提到,不包含任何联结词的命题叫做原子命题,至少包含一个联结词的命题称作复合命题。
设p和q是任意两个命题,则┓p,p∨q,(p∧q)∨(p→q),p«(q∨┓p)等都是复合命题。
若p和q是命题变元,则上述各式均称作命题公式。p和q称作命题公式的分量。
必须注意:命题公式是没有真假值的,仅当在一个公式中命题变元用确定的命题代入时,才得到一个命题。这个命题的真值,以来于代换变元的那些命题的真值。此外,并不是由命题变元,联结词和一些括号组成的字符串都能成为命题公式。
定义1-3.1 命题演算的合式公式(wff),规定为;
(1) 单个命题变元本身是一个合式公式。
(2) 如果a是合式公式,那么┓a是合式公式。
(3) 如果a和b是合式公式,那么(a∧b),(a∨b),(a→b)和(a«b)都是合式公式。
(4) 当且仅当能够有限次地应用(1),(2),(3)所得到的包含命题变元,联结词和括号的符号串是合式公式。
这个合式公式的定义,是以递归形式给出的,其中(1)称为基础,(2)(3)称为归纳,(4)称为界限。
按照定义,下列公式都是合式公式:
┓(p∧q),┓(p→q),p→(p∨┓q)),
(((p→q)∧(q→r)«(s«t))
而
(p→q)→(∧q),(p→q),(p∧q)→q)
等都不是合式公式。
为了减少使用圆括号的数量,约定最外层圆括号可以省略。
如果我们规定了联结词运算的优先次序为:┓,∧,∨,→,«,则p∧q→r也是合式公式。
有了联结词的合式公式概念,我们可以把自然语言中的有些语句,翻译成数理逻辑中的符号形式。
例题1 试以符号形式写出命题:我们要做到身体好、学习好、工作好,为祖国四化建设而奋斗。
解 找出各原子命题,并用命题符号表示:
a:我们要做到身体好。
b:我们要做到学习好。
c:我们要做到工作好。
p:我们要为祖国四化建设而奋斗。
故命题可形式化为:(a∧b∧c)«p
例题2 上海到北京的14次列车是下午五点半或六点开。
解 p:上海到北京的14次列车是下午五点半开。
q:上海到北京的14次列车是下午六点开。
在本例中,汉语的“或”是不可兼或,而逻辑联结词v是“可兼或”。因此不能直接对两命题析取。构造表如表1-3.1所示。
表1-3.1
p | q | 原命题 | p«q | ┓(p→←q) |
t | t | f | t | f |
t | f | t | f | t |
f | t | t | f | t |
f | f | f | t | f |
从表中可看出原命题不能用前述五个联结词单独写出,但是如用命题和联结词组合,可以把本命题表达为:┓(p«q)。
例题3 他既聪明又用功。
解 若设
p:他聪明。
q:他用功
在自然语言中这个“既……又……”显然与“且”的意义一样,故本例可记为:p∧q
例题4 他虽聪明但不用功。
解 这里“虽……但……”这个词不能用前述联结词表达,但其实际意义是:他聪明且不用功。
若设
p:他聪明。q:他用功。
本例可表示为:p∧┓q
例题5 除非你努力,否则你将失败。
解 这个命题的意义,亦可理解为:如果你不努力则你将失败。
若设
p:你努力。q:你失败。
本例可表示为:┓p→q
例题6 张三或李四都可以做这件事。
解 这个命题的意义是:张三可以做这件事,并且李四也可以做这件事。
若设
p:张三可以做这事。q:李四可以做这事。
本例可表示为:p∧q
从上面的例子中可以看到,自然语言中的一些联结词,如:“与“”且“”或“”除非…则…“等等都各有其具体含义,因此需分别不同情况翻译成适当的逻辑联结词。为了便于正确表达命题间的相互关系,有时也常常采用列出”真值表“的方法,进一步分析各原命题,以此寻找逻辑联结词,使原来的命题能够正确地用形式符号予以表达。