PCA降维

以下内容来自：https://blog.csdn.net/qq_58535145/article/details/122598783

一、主成分分析
1、动机：多个变量之间往往存在一定的相关性，可以通过线性组合的方式从中提取信息。
2、主成分分析：将原始的n维数据投影到低维空间，并尽可能的保留更多的信息。
---投影后方差最大
---最小化重构误差
从而达到降维的目的：使用较少的主成分得到较多的信息。

二、图像解释

比如我们想把二维数据降维到一维，那么我们要去找到一条线使得投影后方差最大，如二图中的直线，然后我们把二维的点都投影到这条线上，此时线上的投影点既是我们降维后得到的数据，那么我们该如何实现这个操作？
 

三、底层算法
1、原理

2、案例

3、代码实现

    def pca(X,k):
        m_samples , n_features = X.shape
        #中心化  去均值  均值为0
        mean = np.mean(X,axis=0)
        normX = X - mean  #去均值，中心化
        cov_mat = np.dot(np.transpose(normX),normX) #协方差矩阵
        #对二维数组的transpose操作就是对原数组的转置操作  矩阵相乘
        vals , vecs = np.linalg.eig(cov_mat) #得到特征向量和特征值
        print('特征值',vals)
        print('特征向量',vecs)
        eig_pairs = [(np.abs(vals[i]),vecs[:,i]) for i in range(n_features)]
        print(eig_pairs)
        print('-------------')
        #将特征值由大到小排列
        eig_pairs.sort(reverse=True)
        print(eig_pairs)
        print('-------------')
        feature = np.array(eig_pairs[0][k])
        print(feature)
        #将数据进行还原操作 normX 中心化后的数据 和 特征向量相乘
        data = np.dot(normX,np.transpose(feature))
        return data

    X = np.array([[-1,1],[-2,-1],[-3,-2],[1,1],[2,1],[3,2]])
    data = pca(X,1)
    print(data)

4、在sklearn中调用

    from sklearn.decomposition import PCA
    p = PCA(n_components=1)
    a = p.fit_transform(X)
    print(a)

 四、PCA算法总结

        作为一个非监督学习的降维方法，它只需要特征值分解，就可以对数据进行压缩，去噪。因此在实际场景应用很广泛。为了克服PCA的一些缺点，出现了很多PCA的变种，比如非线性降维的KPCA,还有解决内存限制的增量PCA方法Incremental PCA,以及解决稀疏数据降维的PCA方法Sparse PCA等。
PCA算法的主要优点有:
（1）仅仅需要以方差衡量信息量，不受数据集以外的因素影响。
（2）各主成分之间正交，可消除原始数据成分间的相互影响的因素。
（3）计算方法简单，主要运算是特征值分解，易于实现。

PCA算法的主要缺点有:
（1）主成分各个特征维度的含义具有一定的模糊性， 不如原始样本特征的解释性强。
（2）方差小的非主成分也可能含有对样本差异的重要信息，因降维丢弃可能对后续数据
处理有影响。
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主元分析也就是PCA，主要用于数据降维。

1 什么是降维？

比如说有如下的房价数据：

 

 这种一维数据可以直接放在实数轴上：

不过数据还需要处理下，假设房价样本用X表示，那么均值为：

 

 

然后以均值为原点：

 以 X bar为原点的意思是，以X bar为0，那么上述表格的数字就需要修改下：

 

这个过程称为“中心化”。“中心化”处理的原因是，这些数字后继会参与统计运算，比如求样本方差，中间就包含了

：

  

说明下，虽然样本方差的分母是应该为n-1，这里分母采用n是因为这样算出来的样本方差为一致估计量，不会太影响计算结果并且可以减小运算负担。

用“中心化”的数据就可以直接算出“房价”的样本方差：

 

 “中心化”之后可以看出数据大概可以分为两类：

现在新采集了房屋的面积，可以看出两者完全正相关，有一列其实是多余的：

 

 求出房屋样本、面积样本的均值，分别对房屋样本、面积样本进行“中心化”后得到：

 

房价（X）和面积（Y）的样本协方差是这样的（这里也是用的一致估计量）：

 

可见“中心化”后的数据可以简化上面这个公式，这点后面还会看到具体应用。

把这个二维数据画在坐标轴上，横纵坐标分别为“房价”、“面积”，可以看出它们排列为一条直线：

如果旋转坐标系，让横坐标和这条直线重合：

 

旋转后的坐标系，横纵坐标不再代表“房价”、“面积”了，而是两者的混合（术语是线性组合），这里把它们称作“主元1”、“主元2”，坐标值很容易用勾股定理计算出来，比如

在“主元1”的坐标值为：

很显然,在“主元2”上的坐标为0，把所有的房间换算到新的坐标系上：

 

 因为“主元2”全都为0，完全是多余的，我们只需要“主元1”就够了，这样就又把数据降为了一维，而且没有丢失任何信息(?????)：