51nod 2080 最长上升子序列

题目网址：http://class.51nod.com/Challenge/Problem.html#problemId=2080

一、题目描述

一个数列的最长上升子列，是指其所有递增的子列中最长的一个子列

给定一个长度为 n 的数列 an，求这个数列的最长上升子列的长度

例如对数列 1 7 2 8 3 4，这个数列的最长递增子数列是 1 2 3 4，长度为 4；次长的长度为 3， 包括 1 7 8、1 2 3 等。

输入描述

第一行一个正整数 n，表示数列元素个数，n<=1000

第二行 n 个正整数，从左到右给出数列的每一项

输出描述

一行一个正整数，表示最长上升子数列的长度

样例输入

8
5 1 6 8 2 4 5 10

样例输出

5

二、解题思路

 

我们定义sum[i]为以a[i]为结尾的最长上升子序列的长度。

以a[i]结尾的上升子序列得满足：

1、j < i（以a[j]为结尾的上升子序列）

2、a[j] < a[i] 

3、看哪个最大

①以a[j]结尾的上升子序列结尾加上1（a[i]）后得到的子序列。

②a[i]自己成立一个子序列

把最大的序列长度赋值到数组（sum）里存起来，最后看数组（sum）里的最大值

每个a[i]对应的序列长度最大值都存到sum[i]里去。 

时间复杂度是O(n²)。

人们都说（我的老师说）：“动态规划主要分成两个部分——状态和转移”

Ⅰ状态

枚举所有的状态（数）

①首先先把sum[i]赋为1，这就符合我们刚才说的第二个可能性（a[i]自己成立一个子序列）

    这样我们就可以把其中一个情况的状态给搞定了

②就是普遍的情况了，第一个可能性（a[i]加到a[j]的序列里）

    这次的就是sum[j]+1，把j序列里的已经有的序列长度+a[i]（1）

　 这样，最后一个情况的状态也完事了

Ⅱ转移

把sum[i]里的数求个max值

sum[i] = max(sum[i], sum[j]+1)；

把刚才两个状态的值取最大值就是把sum[j]里的值转移和增加到sum[i]里

三、AC代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

int main(){
    int n, a[1005], sum[100005], ans;
    cin >> n;
    for(int i = 1;i <= n;i++){
        cin >> a[i];
    }
    for(int i = 1;i <= n;i++){
        //把每个数的长度初始值赋值为 1 
        //这个情况是如果a[i]自己成立一个序列 
        //比a[i]加入a[j]的子序列的时候更好
        //就这么处理 
        sum[i] = 1;
        for(int j = 1;j <= i-1;j++){//和a[i]前面所有的数作比较 
            if(a[j] < a[i]){//如果后面的数大于前面的数
            /*说明可以考虑要不要把a[i]这个数也加入前面的序列 
            看是前面的序列再加上1(a[i])长*/
                sum[i] = max(sum[i], sum[j]+1);
            }
        }
        ans = max(ans,sum[i]);
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}