题目地址： http://openclassroom.stanford.edu/MainFolder/DocumentPage.php?course=DeepLearning&doc=exercises/ex2/ex2.html
题目给出的数据是一组2-8岁男童的身高。x是年龄，y是身高。样本数m=50.
使用gradient descent来做线性回归。
step1：数据准备。
加载数据：
>> x=load('ex2x.dat');
>> y=load('ex2y.dat');
可视化数据：
figure % open a new figure window
plot(x, y, 'o');
ylabel('Height in meters')
xlabel('Age in years')
效果如下：
我们将模型设定为：
Hθ(x) = θ0 + θ1x
因此，还需要在数据集x的坐标统一加上1，相当于x0=1
m = length(y); % store the number of training examples x = [ones(m, 1), x]; % Add a column of ones to x
增加了这一列以后，要特别注意，现在年龄这一变量已经移动到了第二列上。
step2：线性回归
先来回忆一下我们的计算模型：
批量梯度下降（注意不是online梯度下降）的规则是：
题目要求：
1、使用步长为0.07的学习率来进行梯度下降。权重向量θ={θ0,θ1}初始化为0。计算一次迭代后的权重向量θ的值。
首先初始化权重向量theta
>> theta=zeros(1,2)
theta = 0 0
计算迭代一次时的权重向量：
delta=(x*theta')-y;
sum=delta'*x;
delta_theta=sum*0.07/m;
theta1=theta - delta_theta;
求得的theta1的结果为：
theta1 = 0.0745 0.3800
2、迭代进行gradient descent，直到收敛到一个点上。
测试代码（每100步输出一条theta直线，直到迭代结束）：
function [ result ] = gradientDescent( x,y,alpha,accuracy ) %GRADIENTDESCENT Summary of this function goes here % Detailed explanation goes here orgX=x; plot(orgX, y, 'o'); ylabel('Height in meters') xlabel('Age in years') m=length(y); x=[ones(m,1),x]; theta = zeros(1,2); hold on; times = 0; while(1) times = times + 1; delta=(x*theta')-y; sum=delta'*x; delta_theta=sum*alpha/m; theta1=theta - delta_theta; if(all(abs(theta1(:) - theta(:)) < accuracy)) result = theta; break; end theta = theta1; if(mod(times,100) == 0) plot(x(:,2), x*theta', '-','color',[(mod(times/100,256))/256 128/256 2/256]); % remember that x is now a matrix with 2 columns % and the second column contains the time info legend('Training data', 'Linear regression'); end end end
效果如下：
可以看到，theta所确定的直线慢慢逼近数据集。
洁净版的代码（只输出最终的theta结果，不输出中间步骤）：
function [ result ] = gradientDescent( x,y,alpha,accuracy ) %GRADIENTDESCENT Summary of this function goes here % Detailed explanation goes here orgX=x; plot(orgX, y, 'o'); ylabel('Height in meters') xlabel('Age in years') m=length(y); x=[ones(m,1),x]; theta = zeros(1,2); hold on; while(1) delta=(x*theta')-y; sum=delta'*x; delta_theta=sum*alpha/m; theta1=theta - delta_theta; if(all(abs(theta1(:) - theta(:)) < accuracy)) result = theta; plot(x(:,2), x*theta', '-','color',[200/256 128/256 2/256]); % remember that x is now a matrix with 2 columns % and the second column contains the time info legend('Training data', 'Linear regression'); break; end theta = theta1; end end
结果：
执行代码
result=gradientDescent(x,y,0.07,0.00000001)
其中0.07为步长（即学习率），0.00000001为两个浮点矩阵的相近程度（即在这个程度内，视为这两个浮点矩阵相等）
收敛时的theta值为：
theta = 0.7502 0.0639
3、现在，我们已经训练出了权重向量theta的值，我们可以用它来预测一下别的数据。
predict the height for a two boys of age 3.5 and age 7
代码如下：
>> boys=[3.5;7];
>> boys=[ones(2,1),boys];
>> heights=boys*theta';
执行结果：
heights =
0.9737
1.1973
4、理解J(θ)
J(θ)是与权重向量相关的cost function。权重向量的选取，会影响cost的大小。我们希望cost可以尽量小，这样相当于寻找cost function的最小值。查找一个函数的最小值有一个简单的方法，就是对该函数求导（假设该函数可导），然后取导数为0时的点，该点即为函数的最小值（也可能是极小值）。梯度下降就是对J(θ)求偏导后，一步一步逼近导数为0的点的方法。
因为我们在此练习中使用的θ向量只有两个维度，因此可以使用matlab的plot函数进行可视化。在一般的应用中，θ向量的维度很高，会形成超平面，因此无法简单的用plot的方法进行可视化。
代码：
function [] = showJTheta( x,y ) %SHOW Summary of this function goes here % Detailed explanation goes here J_vals = zeros(100, 100); % initialize Jvals to 100x100 matrix of 0's theta0_vals = linspace(-3, 3, 100); theta1_vals = linspace(-1, 1, 100); for i = 1:length(theta0_vals) for j = 1:length(theta1_vals) t = [theta0_vals(i); theta1_vals(j)]; J_vals(i,j) = sum(sum((x*t - y).^2,2),1)/(2*length(y)); end end % Plot the surface plot % Because of the way meshgrids work in the surf command, we need to % transpose J_vals before calling surf, or else the axes will be flipped J_vals = J_vals' figure; surf(theta0_vals, theta1_vals, J_vals); axis([-3, 3, -1, 1,0,40]); xlabel('\theta_0'); ylabel('\theta_1') end
执行：
x=load('ex2x.dat');
y=load('ex2y.dat');
x=[ones(length(y),1),x];
showJTheta(x,y);
结果
加上等高线的绘制语句
figure;
% Plot the cost function with 15 contours spaced logarithmically
% between 0.01 and 100
contour(theta0_vals, theta1_vals, J_vals, logspace(-2, 2, 15));
xlabel('\theta_0'); ylabel('\theta_1');
效果
