代码题（25）— 最大子序和、最长上升子序列

1、53. 最大子序和

给定一个整数数组 nums ，找到一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

示例:

输入: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4],
输出: 6
解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6。

class Solution {
public:
    int maxSubArray(vector<int>& nums) {
        if(nums.empty())
            return 0;
        int res = nums[0];
        int sum = nums[0];
        for(int i=1;i<nums.size();++i)
        {
            if(sum>0)
                sum += nums[i];
            else
                sum = nums[i];
            res = max(res, sum);    
        }
        return res;
    }
};

2、300. 最长上升子序列

给定一个无序的整数数组，找到其中最长上升子序列的长度。

示例:

输入: [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出: 4 
解释: 最长的上升子序列是 [2,3,7,101]，它的长度是 4。

说明:

• 可能会有多种最长上升子序列的组合，你只需要输出对应的长度即可。
• 你算法的时间复杂度应该为 O(n2) 。

进阶: 你能将算法的时间复杂度降低到 O(n log n) 吗?

　　方法一：时间复杂度为O(n²)

　　首先来看一种动态规划Dynamic Programming的解法，这种解法的时间复杂度为O(n²)，类似brute force的解法，我们维护一个一维dp数组，其中dp[i]表示以nums[i]为结尾的最长递增子串的长度，对于每一个nums[i]，我们从第一个数再搜索到i，如果发现某个数小于nums[i]，我们更新dp[i]，更新方法为dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)，即比较当前dp[i]的值和那个小于num[i]的数的dp值加1的大小，我们就这样不断的更新dp数组，到最后dp数组中最大的值就是我们要返回的LIS的长度.

class Solution {
public:
    int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
        if(nums.empty())
            return 0;
        int n = nums.size();
        int res=0;
        vector<int> dp(n,1);
        for(int i=0;i<n;++i)
        {
            for(int j=0;j<i;++j)
            {
                if(nums[j]<nums[i])
                    dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);
            }
            res = max(res, dp[i]);
        }
        return res;
    }
};

　　 方法二：时间复杂度为O(nlogn)

 　　思路是先建立一个空的dp数组，然后开始遍历原数组，对于每一个遍历到的数字，我们用二分查找法在dp数组找第一个不小于它的数字，如果这个数字不存在，那么直接在dp数组后面加上遍历到的数字，如果存在，则将这个数字更新为当前遍历到的数字，最后返回dp数字的长度即可，注意的是，跟上面的方法一样，特别注意的是dp数组的值可能不是一个真实的LIS。

class Solution {
public:
    int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
        if(nums.empty())
            return 0;
        vector<int> dp;
        for(int i=0;i<nums.size();++i)
        {
            int low=0,high=dp.size();
            while(low<high)
            {
                int mid = (low+high)/2;
                if(dp[mid]<nums[i])
                    low = mid+1;
                else
                    high=mid;
            }
            if(high>=dp.size())
                dp.push_back(nums[i]);
            else
                dp[high] = nums[i];
        }
        return dp.size();
    }
};