引理
已知:k|a,k|b
求证:k|(m*a+n*b)
证明:∵ k|a
∴ 有p*k=a
同理可得q*k=b
∴ p*k*m=m*a,q*k*n=n*b
∴ k(p*m+q*n)=m*a+n*b
∴ k|(m*a+n*b)
条件:a,b均为正整数
求证:gcd(a,b)=gcd(b,a%b)
证明:设m=gcd(a,b),n=gcd(b,a%b).
则必有p能使p*b+a%b=a;
∵ n=gcd(b,a%b)
∴ n|(p*b+1*a%b)且n|b
∴ n|a 即 n为a,b公约数
∵ m=gcd(a,b)
∴ m>=n
设q,使a-q*b=a%b
∵ m=gcd(a,b)
∴ m|(a-q*b)且m|b
∴ m|(a%b)
∴ m为b,a%b公约数
∵ n=gcd(b,a%b)
∴ n>=m
∴ n=m 命题得证
最后,gcd->伟大光荣正确的党!