概率空间是事先给定的，其中样本空间是定义的基础，事件及其概率是我们讨论的对象。那么面对一个给定的概率空间，我们要讨论一些什么问题呢？事件与概率是绑定在一起的，故应把注意力放在事件域上，本篇从两个角度考察事件概率：条件概率和随机变量，它们是概率论中非常基础的概念。
1. 条件概率
1. 1 定义和性质
对于整个事件域，我们不光要知道每个事件的概率，还要知道事件之间的关系。具体讲就是，如果事件(A)发生了，事件(B)会是什么情况呢？当然这里所说的情况还是指“概率”，不过这时的样本空间已经发生了变化，由(Omega)变成了(A)，自然原本的事件也都变成了与(A)的交集，比如事件(B)对应到事件(AB)。我们自然希望新事件域上的概率与之前的“兼容”，可以以(P(A))作为基准，以(P(AB))作为“可能性”的度量，容易构造出新的概率为(dfrac{P(AB)}{P(A)})。这样的定义不光符合直觉，还容易证明是符合概率的三条要求的。数学上，把式（1）定义为事件(B)关于事件(A)的条件概率，条件概率生成的概率空间具有一般概率空间的所有性质。
[P(B|A)=dfrac{P(AB)}{P(A)} ag{1}]
先把目光放在概率空间的转移上，可以把(Omega)上对应的称为先验概率空间，而把(A)上对应的称为后验概率空间。前者表示在没有其它条件下的概率，而后者表示获得了信息(A)后的概率，这也是条件概率名称的由来。条件概率不仅揭示了事件概率随条件的变化，本质上更是揭示了事件之间的关联。如果后验概率与先验概率不同，则表示事件(A)与其它事件之间有一定关系，至于如何度量这个关联，以后会具体讨论。
在很多时候，后验概率反而更容易获取，这时把式（1）改写成式（2）会更有意义，它可以求得“局部”的先验概率。这个思想容易扩展成式（3）的乘法公式，它将复杂的概率分解成了多层简单的概率，在实际计算中非常有用。
[P(AB)=P(A)P(B|A) ag{2}]
[P(A_1A_2cdots A_n)=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1A_2)cdots P(A_n|A_1A_2cdots A_{n-1}) ag{3}]
式（2）得到的是事件(B)在条件(A)下的片段，如果样本空间(Omega)可以被分割为可数个互斥条件(A_i)，并且(B)在每个条件下的概率都容易求得，则不难得到(B)的完整先验概率。式（4）被称为全概率公式，它经常被用在事件可以按条件分类的场景，是也是一个常用的方法。
[P(B)=sum_{i=1}^{infty}P(A_iB)=sumlimits_{i=1}^{infty}P(A_i)P(B|A_i) ag{4}]
继续观察全概率模型，样本空间被条件(A_i)划分，而在每个条件下事件(B)发生概率也是清楚的。试想如果事件(B)的确发生了，如何计算条件(A_i)发生的概率(P(A_i|B))？这是一个后验概率的计算，只不过把条件与结果的顺序颠倒了。利用式（5）不难得到式（6），它就是著名的贝叶斯公式。要想在观察值(B)下估算实际的值，可事先统计实际值的分布、以及对每个实际值的可能观察值。贝叶斯公式为信息判断提供了一种便捷可靠的途径，在工业上被广泛应用。
[P(B)P(A_i|B)=P(A_iB)=P(A_i)P(B|A_i) ag{5}]
[P(A_i|B)=dfrac{P(A_i)P(B|A_i)}{P(B)}=dfrac{P(A_i)P(B|A_i)}{sumlimits_{j=1}^{infty}P(A_j)P(B|A_j)} ag{6}]
1.2 统计独立性
前面说过，条件概率反应了事件之间的关系，当条件概率(P(B|A))与先验概率(P(B))不相同时，可以认为条件(A)对事件(B)造成了影响。这里先讨论简单的情景，即条件(A)并没有对事件(B)的概率造成影响，这时有(P(B|A)=P(B))。展开条件概率得到它的等价表达式（7），该式中(A,B)的关系是对等的，它更适合用来表示“相互”的关系。
对于满足式（7）的事件(A,B)，一般称之为统计独立的，或简称独立的。其实并不能说独立的两个事件是“无关”的，这里的独立仅适用于统计概率值的关系，这个认识非常重要，它也正是数学严谨性的体现，每个概念都有它明确的所指。“无关”是个很宽泛的概念，在这里是能包含统计独立性的。因此在现实使用中，如果不需要严格论证，就可以把那些明显“无关”的事件看成是独立的，比如两次互不干扰的随机试验。
[P(AB)=P(A)P(B);Leftrightarrow;P(B|A)=P(B);Leftrightarrow;P(A|B)=P(A) ag{7}]
[P(A_1A_2cdots A_n)=P(A_1)P(A_2)cdots P(A_n) ag{8}]
统计独立性可以简化很多问题的计算，当事件独立时，联合事件的概率可以直接由各个事件概率相乘得到（式（8））。另外容易证明，如果事件(A,B)独立，则(ar{A},ar{B})、(ar{A},B)、(A,ar{B})也是独立的，这个结论使得独立性更方便使用。
独立性作为事件间的一种“关系”，它有没有传递性呢？你画个文氏图，很容易找出反例，即独立性是与“两者”紧相连的，与第三者并无关联。更甚者，如果你要定义三个事件之间“相互独立”，光有两两独立也是不够的。所谓多个事件的相互独立，自然是想任何事件（或联合事件）都统计独立于其它事件（或联合事件），光有两两独立是不够的。举个三个事件下的反例就足够了，图中(A,B,C)两两独立，但显然(A)与(BC)不独立。(n)个事件相互独立的条件是式（9）成立，其中(A_{i_1},cdots,A_{i_m})是对任意(m)任意选取的(m)个不同事件。
[P(A_{i_1}A_{i_2}cdots A_{i_m})=P(A_{i_1})P(A_{i_2})cdots P(A_{i_m}),;(2leqslant mleqslant n) ag{9}]
2. 随机变量
2.1 分布函数
概率空间的模型好像很难进一步讨论下去，主要原因是样本空间是一般性的集合。如果把样本空间特殊化成数集，概率就能和函数联系起来，处理起来就能方便得多，而且可以直接利用实变函数的结论。另一方面，实际应用中的样本空间往往就是一个整数集或实数集，这就有了充分的理由来研究实数样本空间的概率问题。不过统一的论证需要测度论的知识，这里仅以离散模型和连续模型为例，阐明随机变量的概念。
先是将样本点对应成实数，也就是说存在(Omega oBbb{R})上的映射(xi(omega))。新的样本空间中，我们自然以一维博雷尔域(mathscr{B}_1)为事件域。要使得原来的概率在新事件域上仍然是概率，还得要求任何博雷尔点集(B)的原像是一个事件，即满足式({omega:xi(omega)in B}inscr{F})，而(B)的概率则应是(P{xi(omega)in B})。这个条件虽然重要，但在实际中往往都是成立的，故以后直接使用新的概率空间。
映射(xi(omega))的值是实数，它随着(omega)变化，并且还带有概率的属性，一般也把它称为随机变量，简写为(xi)，仔细品味(xi)的含义对理解随机变量很重要。我们知道，一维博雷尔域可以由所有的开区间((-infty,a))生成，因此如果能描述所有((-infty,a))上的概率，也就完整描述了随机变量的概率分布。式（10）中的实函数便满足要求，它被称为随机变量(xi)的分布函数，也说成(xi)服从分布(F(x))，简记为(xisim F(x))。
[F(x)=P{xi(omega)<x} ag{10}]
容易证明分布函数满足以下三个性质，它们与概率的三条性质一一对应。实变函数中还能证明：任何满足这三个条件的函数，都是某个随机变量的分布函数，并且随机变量和分布函数相互唯一确定。
（1）单调性：(a<b\,Rightarrow\, F(a)<F(b))；
（2）规范性：(limlimits_{x o-infty}F(x)=0)，(limlimits_{x o+infty}F(x)=1)；
（3）左连续性：(F(x^-)=F(x))。
分布函数为概率空间提供了统一的描述，使得分析的工具更容易使用，但这里我们不进行分析讨论，故还是分成离散和连续两种情况直接讨论。离散随机变量的分布函数是一个跳跃函数，直接讨论它的分布函数(p(xi=x_i))会更方便直观。对于连续随机变量的分布函数，一般假定它是光滑的，即存在连续导函数(p(x)=F'(x))。仔细思考导数的含义，你同样会明白，(p(x))并不是(x)处的概率，它表示(x)附近的“平均概率”或者“概率密度”，因此(p(x))也称为(xi)的密度函数，显然有式（11）成立。
[F(x)=int_{-infty}^xp(y)\, ext{d}y ag{11}]
2.2 随机变量的函数
现在我们已经进入变量和函数的世界，有个很自然的问题是，如果随机变量(eta)满足(eta=g(xi))，则如何用(xi)的分布函数(F(x))表示(eta)的分布函数？这个问题不难，直接用定义有式（12），但可惜它无法化简，因为非常依赖于(g(x))的特性。
[G(y)=P{eta<y}=P{g(xi)<y}=int_{g(x)<y}p(x) ext{d}x ag{12}]
但在一些特殊情景下，式（12）还可以进一步化简。比如假设(g(x))是单调递增的，则容易有(G(y)=F(g^{-1}(y)))。有趣的是，如果(F(x))本身是单调的，则易知随机变量(eta=F(xi))的分布函数是(G(y)=y)，它是([0,1])上的均匀分布。这就启发我们，对任何单调的分布函数(F(x))，我们都可以构造出它的随机变量(F^{-1}(eta))，而需要的只是一个([0,1])上的均匀分布。这个结论的条件还可以放宽，有兴趣的自行研究，它被称为随机变量的存在定理。
当(xi)有密度函数(p(x))，而(g(x))有连续导函数时，容易证明(eta)的密度函数(q(y))满足式（13）。如果你理解密度函数的意义，其实式（13）有着很直观的解释，就是表示斜率对密度的影响。根据这个思想，如果(g(x))的导函数分段连续，可以将公式（13）应用在每个分段中，然后每段的密度函数相加即可。
[q(y)=p[g^{-1}(y)]cdotleft|[g^{-1}(y)]' ight| ag{13}]
当然还可以讨论多元函数的随机变量(eta=g(xi_1,cdots,xi_n))，但一般情况下也很难得到简单的分布函数，只能针对特殊情况分别讨论。比如当(xi_1,xi_2)相互独立时，你可以求得(eta=xi_1+xi_2)的分布函数（14）。它被称为卷积公式，卷积的概念在数学里非常常见。还可以求得(eta=xi_1/xi_2)的分布函数（15），该式在数理统计中比较有用。
[eta=xi_1+xi_2;Rightarrow;q(y)=int_{-infty}^{+infty}p_1(y-u)p_2(u)\, ext{d}u ag{14}]
[eta=dfrac{xi_1}{xi_2},;(xi_2>0);Rightarrow;q(y)=int_{-infty}^{+infty}up_1(yu)p_2(u)\, ext{d}u ag{15}]
• 设(eta,zeta)分别是独立随机变量(xi_1,cdots,xi_n)中的最大值和最小值，试求(eta,zeta,eta-zeta)的分布函数。
2.3 随机向量
有时候，随机事件的值是一个多维向量(overrightarrow{xi}=(xi_1,xi_2,cdots,xi_n))，它被称为随机向量或(n)维随机变量。容易定义(overrightarrow{xi})的（联合）分布函数如式（16），它在每一维都是递增的。但在每一维都递增的函数（同时满足分布函数其它特点），不一定是分布函数。拿二维空间为例，只有满足空间上的递增性（而不是单个维度），才能成为分布函数，因此还必须有式（17）成立。
[F(x_1,x_2,cdots,x_n)=P{xi_1<x_1,xi_2<x_2,cdots,xi_n<x_n} ag{16}]
[P{a_1leqslantxi_1<b_1,a_2leqslantxi_2<b_2}=F(b1,b_2)-F(a_1,b_2)-F(b_1,a_2)+F(a_1,a_2)geqslant 0 ag{17}]
随机向量也可以定义密度函数，而且在每一维都有式（18）的边际分布（分别是离散和连续）。但同样的边际分布却可能有不同的分布函数，主要是因为每一维的随机变量之间可能不是独立的。这就为我们提供了另一个视角看随机向量，它是讨论随机变量关系的一个很好的场所，就像条件概率(P(B|A))要借助(P(AB))定义一样。
[p_1(x_i)=sumlimits_j p(x_i,y_j);;; p_1(x)=int_{-infty}^{+infty}p(x,y)\, ext{d}y ag{18}]
不管是离散还是连续场景，式（19）定义的(xi)关于(eta)的条件分布都是合理的。可以把条件分布的概率分布（或密度函数）简写为(p(x|y))，容易推导出它有表达式（20）（离散和连续）。自然地，满足式（21）的随机变量被称为相互独立的，它们的分布函数和密度函数可以拆分为边际分布之积，且由边际分布唯一确定（式（22）。
[P{xi<x|eta=y}=limlimits_{varDelta y o 0}P{xi<x|yleqslanteta<y+varDelta y} ag{19}]
[p(x_i|y_j)=dfrac{p(x_i,y_j)}{p_2(y_j)};;;p(x|y)=dfrac{p(x,y)}{p_2(y)} ag{20}]
[P{xi_1<x_1,cdots,xi_n<x_n}=P{xi_1<x_1}cdots P{xi_n<x_n} ag{21}]
[F(x_1,cdots,x_n)=F_1(x_1)cdots F_n(x_n);;;p(x_1,cdots,x_n)=p_1(x_1)cdots p_n(x_n) ag{22}]
最后再来看随机向量的变换(overrightarrow{eta}=g(overrightarrow{xi}))，利用微积分中多元函数变换的结论，如果(overrightarrow{eta},overrightarrow{xi})的维度相同且存在逆函数，则有式（23）成立，其中(J)是向量变换的雅克比行列式。这个结论可以对随机向量进行变换，从而得到更便于处理的分布（比如各维度相互独立）。还有一个作用是计算随机变量的多元函数(eta_1=g(xi_1,cdots,xi_n))的分布，步骤是先添加(n-1)个辅助的多元函数，求得联合密度函数（23）后再求(eta_1)的边际分布。
[q(y_1,cdots,y_n)=p(x_1(y_1,cdots,y_n),cdots,x_n(y_1,cdots,y_n))cdot |J| ag{23}]