1. 行列式的定义
线性方程组中比较常见的是(m=n)的情况，我们想知道这种方程组什么时候有唯一解？并且如何用系数表示这个唯一解？对于元数较少的方程，可以直接用消元法得到解的具体公式，比如（1）式就是二元方程组的公式解。公式中重复出现了模式(ab-cd)，这个模式不仅能判断方程组是否有唯一解，还能直接表示解的公式。
[x_1=dfrac{b_1a_{22}-b_2a_{21}}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}};quad x_2=dfrac{a_{11}b_2-a_{21}b_1}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}} ag{1}]
考虑到二元方程组的系数矩阵（下式左），上面的模式表现为对角线积的差。同样对三元方程组，我们也可以得到重复的模式，分母为(a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33})，参照系数矩阵（下式右）可知，模式表现为正反斜线的差。
我们现在自然想问，对任意(m=n)的线性方程组，是否都有这样的模式？它的一般表达式是什么？经过考察更多元的方程组，数学家们还真找到了一般的表达式，式子由所有(a_{1j_1}a_{2j_2}cdots a_{nj_n})形式的乘积组成，其中((j_1j_2cdots j_n))是(1sim n)的一个排列。另外，每一项的符号由排列((j_1j_2cdots j_n))的逆序数( au(j_1j_2cdots j_n))决定，如果逆序数为偶数则为正，否则为负。设系数矩阵为(A)，则这个表达式被称为(A)的行列式（determinant），记作(|A|)，总结有它的值为公式（2）。
[|A|=egin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&cdots&a_{1n}\a_{21}&a_{22}&cdots&a_{2n}\vdots&vdots&ddots&vdots\a_{n1}&a_{n2}&cdots&a_{nn}end{vmatrix}=sum_{j_1j_2cdots j_n}{(-1)^{ au(j_1j_2cdots j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}cdots a_{nj_n}} ag{2}]
逆序数的概念之前介绍过，这里再简单阐述一下。排列((j_1j_2cdots j_n))中，如果有(p<q)但(j_p>j_q)，则(j_pj_q)称为一个逆序，所有逆序的个数叫排列的逆序数，记作( au(j_1j_2cdots j_n))。在实际应用场合，其实更有用的是逆序数的奇偶性，对应就有奇排列和偶排列的概念。容易证明，任意两数的对换会改变排列的奇偶性，而两个排列之间都可以通过一系列对换进行转换，故奇偶性也可以通过对换次数来判断。
行列式的项数正是全排列的个数(n!)，并且显然其中奇偶排列各占一半。行列式的每一项是在每一行取列号不同的元素，其实它等价于取(n)个行列号都不同的元素(a_{x_1y_1}a_{x_2y_2}cdots a_{x_ny_n})，特别地它还等价于在每一列中取行号不同的元素(a_{i_11}a_{i_22}cdots a_{i_nn})。由于(a_{x_py_p},a_{x_qy_q})对调后((x_1x_2cdots x_n))和((y_1y_2cdots y_n))的奇偶性同时变化，故它们的和是不变的，这样就得到公式（3）的关系。
[(-1)^{ au(x_1x_2cdots x_n)+ au(y_1y_2cdots y_n)}=(-1)^{ au(i_1i_2cdots i_n)}=(-1)^{ au(j_1j_2cdots j_n)} ag{3}]
行列式最初被发现时，只是为了表达线性方程组的解，但在后面的线性变换和空间的度量中，它却成了不可或缺的工具。行列式定义的计算量比较大，我们往往只能用它来计算一些简单矩阵的行列式，比如可以直接计算如下上（下）三角形行列式。
[egin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&cdots&a_{1n}\0&a_{22}&cdots&a_{2n}\vdots&vdots&ddots&vdots\0&0&cdots&a_{nn}end{vmatrix}=egin{vmatrix}a_{11}&0&cdots&0\a_{21}&a_{22}&cdots&0\vdots&vdots&ddots&vdots\a_{n1}&a_{n2}&cdots&a_{nn}end{vmatrix}=a_{11}a_{22}cdots a_{nn} ag{4}]
• 求行列式：(egin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&cdots&a_{1(n-1)}&a_{1n}\a_{21}&a_{22}&cdots&a_{2(n-1)}&0\vdots&vdots&ddots&vdots&vdots\a_{n1}&0&cdots&0&0end{vmatrix})，(egin{vmatrix}0&a_1&0&cdots&0\0&0&a_2&cdots&0\vdots&vdots&vdots&ddots&vdots\0&0&0&cdots&a_{n-1}\a_n&0&0&cdots&0end{vmatrix})，(egin{vmatrix}a_1&a_2&a_3&a_4&a_5\b_1&b_2&b_3&b_4&b_5\0&0&0&c_1&c_2\0&0&0&d_1&d_2\0&0&0&e_1&e_2end{vmatrix})。
2.行列式的初等变换
既然三角形行列式比较容易计算，我们希望通过初等变换将行列式三角化，为此需要了解初等变换对行列式的影响。首先根据定义容易知道，对行列式的某一行（列）乘上常数(k)，行列式的值也变成(k)倍（公式（5））。从而如果有某行（列）全为(0)，行列式的值也为(0)。另外，将行列式的两行（列）交换，将翻转每一项的奇偶性，故行列式的值取相反数（公式（6））。从而如果某两行（列）相等，行列式值为(0)，再结合公式（5）知，某两行（列）成比例的行列式值也为(0)。
[egin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&cdots&a_{1n}\vdots&vdots&ddots&vdots\ka_{i1}&ka_{i2}&cdots&ka_{in}\vdots&vdots&ddots&vdots\a_{n1}&a_{n2}&cdots&a_{nn}end{vmatrix}=kegin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&cdots&a_{1n}\vdots&vdots&ddots&vdots\a_{i1}&a_{i2}&cdots&a_{in}\vdots&vdots&ddots&vdots\a_{n1}&a_{n2}&cdots&a_{nn}end{vmatrix} ag{5}]
[egin{vmatrix}vdots&vdots&ddots&vdots\a_{i1}&a_{i2}&cdots&a_{in}\vdots&vdots&ddots&vdots\a_{j1}&a_{j2}&cdots&a_{jn}\vdots&vdots&ddots&vdotsend{vmatrix}=-egin{vmatrix}vdots&vdots&ddots&vdots\a_{j1}&a_{j2}&cdots&a_{jn}\vdots&vdots&ddots&vdots\a_{i1}&a_{i2}&cdots&a_{in}\vdots&vdots&ddots&vdotsend{vmatrix} ag{6}]
第三个初等变换是将行（列）的倍数加到另一行（列），而首先由定义知，在在一行（列）同时加上一些数，等于两个行列式的和（公式（7））。从而第三个初等变换得到两个行列式（公式（8）），第一个是它本身，第二个的第(j)行是第(i)行倍数，故为(0)。
[egin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&cdots&a_{1n}\vdots&vdots&ddots&vdots\b_1+c_1&b_2+c_2&cdots&b_n+c_n\vdots&vdots&ddots&vdots\a_{n1}&a_{n2}&cdots&a_{nn}end{vmatrix}=egin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&cdots&a_{1n}\vdots&vdots&ddots&vdots\b_1&b_2&cdots&b_n\vdots&vdots&ddots&vdots\a_{n1}&a_{n2}&cdots&a_{nn}end{vmatrix}+egin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&cdots&a_{1n}\vdots&vdots&ddots&vdots\c_1&c_2&cdots&c_n\vdots&vdots&ddots&vdots\a_{n1}&a_{n2}&cdots&a_{nn}end{vmatrix} ag{7}]
[egin{vmatrix}vdots&vdots&ddots&vdots\a_{i1}&a_{i2}&cdots&a_{in}\vdots&vdots&ddots&vdots\a_{j1}+ka_{i1}&a_{j2}+ka_{i2}&cdots&a_{jn}+ka_{in}\vdots&vdots&ddots&vdotsend{vmatrix}=egin{vmatrix}vdots&vdots&ddots&vdots\a_{i1}&a_{i2}&cdots&a_{in}\vdots&vdots&ddots&vdots\a_{j1}&a_{j2}&cdots&a_{jn}\vdots&vdots&ddots&vdotsend{vmatrix} ag{8}]
由上面的讨论可知，初等变换（不包括乘以(0)）只会使行列式的值乘以一个非零值，如果我们只关心行列式是否为(0)，初等变换并不影响结果。具体到(m=n)的线性方程组中，用初等变换将系数矩阵变为上三角形，方程有唯一解的充要条件是对角线都是非零值，这就等价于原系数矩阵的行列式非零。对(n)维线性空间，任意(n)个向量线性无关的充要条件是：坐标矩阵的行列式非零，两组基之间的过渡矩阵的行列式显然非零。
灵活使用初等变换，可以简化行列式的求解，有些问题还需要较强技巧，考虑以下问题。
• 计算行列式：(egin{vmatrix}lambda&a&a&cdots&a\a&lambda&a&cdots&a\vdots&vdots&vdots&ddots&vdots\a&a&a&cdots&lambdaend{vmatrix})，(egin{vmatrix}x_1-a_1&x_2&x_3&cdots&x_n\x_1&x_2-a_2&x_3&cdots&x_n\vdots&vdots&vdots&ddots&vdots\x_1&x_2&x_3&cdots&x_n-a_nend{vmatrix})，(egin{vmatrix}a_1&a_2&a_3&cdots&a_n\b_2&1&0&cdots&0\b_3&0&1&cdots&0\vdots&vdots&vdots&ddots&vdots\b_n&0&0&cdots&1end{vmatrix})；
• 记(A)的每个元素加上(t)后的矩阵为(A(t))，求证：(|A(t)|=|A|+tsumlimits_{i=1}^nsumlimits_{j=1}^n{A_{ij}})。
3. 行列式的分解
3.1 按一行（列）展开
如果要继续研究行列式，一个容易想到的方向就是行列式的分解。对行列式的(n!)项，也许我们可以对它们进行分类和聚拢，从而得到有意义的分割。根据行列式的定义，每一项其实是在每一行（列）中各取一个元素，一个比较自然的分割方法就是：按第(i)行（(j)列）的元素分成(n)类，而含有(a_{ik})（(a_{kj})）的项属于一类。设同一类项的和为(a_{ik}A_{ik})（(a_{kj}A_{kj})），则有下式成立，其中其中(A_{ij})称也为(a_{ij})的代数余子式。
[|A|=sum_{k=1}^n{a_{ik}A_{ik}}=sum_{k=1}^n{a_{kj}A_{kj}} ag{9}]
为了方便讨论，把(|A|)去除第(i)行、第(j)列后的行列式叫做(a_{ij})的余子式（cofactor），并记为(M_{ij})。仔细考察(A_{ij})的每一项，根据行列式的定义，它们正好与(M_{ij})的每一项一一对应。只不过在(A_{ij})中是(a_{1j_1}cdots a_{ij}cdots a_{nj_n})的奇偶性，而在(M_{ij})中是(a_{1j_1}cdots a_{(i-1)j_{i-1}}a_{(i+1)j_{i+1}}cdots a_{nj_n})的奇偶性。容易证明两者逆序数相差(i+j)，从而有(A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij})，公式（9）可以改写为公式（10）。
[|A|=sum_{k=1}^n{(-1)^{i+k}a_{ik}M_{ik}}=sum_{k=1}^n{(-1)^{k+j}a_{kj}M_{kj}} ag{10}]
公式（10）以一行（列）展开行列式，它给出了计算行列式的一个降阶方法，在某些形式的行列式中非常有用。比如当行列式的某行（列）的非零数很少时（或者在一些初等变换之后），那么以这一行（列）展开计算就很快速。尝试计算以下行列式：
• 计算行列式：(egin{vmatrix}a&b&0&cdots&0\0&a&b&cdots&0\vdots&vdots&vdots&ddots&vdots\0&0&0&cdots&b\b&0&0&cdots&aend{vmatrix})，(egin{vmatrix}1&2&3&cdots&n\n&1&2&cdots&n-1\vdots&vdots&vdots&ddots&vdots\2&3&4&cdots&1end{vmatrix})；
• 求证：(egin{vmatrix}x&0&cdots&0&a_0\-1&x&cdots&0&a_1\0&-1&cdots&0&a_2\vdots&vdots&ddots&vdots&vdots\0&0&cdots&-1&x+a_{n-1}end{vmatrix}=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+cdots+a_1x+a_0)。
以下左式是著名的范德蒙行列式（Vandermonde），在每一行上减掉上一行的(a_1)倍，第(1)列只有(a_{11})非零，故行列式等于(M_{11})。(M_{11})每一列提取出公倍数(a_j-a_1)就得到(a_2,cdots,a_n)上的范德蒙行列式，以此类推就得到(n)阶范德蒙行列式的值（公式（11））。由公式（11）可知，范德蒙行列式等于(0)的充要条件是存在(a_i=a_j)。这个行列式形式独特，在数学的各个分支都有应用，经常出现于一些构造无关向量的场合中。
[egin{vmatrix}1&1&cdots&1\a_1&a_2&cdots&a_n\a_1^2&a_2^2&cdots&a_n^2\vdots&vdots&ddots&vdots\a_1^{n-1}&a_2^{n-1}&cdots&a_n^{n-1}end{vmatrix}=egin{vmatrix}1&1&cdots&1\0&(a_2-a_1)&cdots&(a_n-a_1)\0&a_2(a_2-a_1)&cdots&a_n(a_n-a_1)\vdots&vdots&ddots&vdots\0&a_2^{n-2}(a_2-a_1)&cdots&a_n^{n-2}(a_n-a_1)end{vmatrix}\ =sum_{j=1}^n(a_j-a_1)cdotegin{vmatrix}1&cdots&1\a_2&cdots&a_n\vdots&ddots&vdots\a_2^{n-2}&cdots&a_n^{n-2}end{vmatrix}=sum_{1leqslant i<jleqslant n}(a_j-a_i) ag{11}]
有时候像范德蒙行列式一样，按行（列）展开并不能直接得到结果，而是一个递推式，解递推式方程即可得到行列式的值。这样的行列式往往具有很规律的结构，在实际应用中经常会碰到，一些常见的行列式最好直接记住它的结论。
• 计算行列式：(egin{vmatrix}2&-1&&\-1&ddots&ddots&\&ddots&ddots&-1\&&-1&2end{vmatrix})。
3.2 拉普拉斯定理
上面按一行（列）展开了行列式，其实这个结论可以很容易扩展到按(k)行（列）展开。之前我们以一行（列）的每个元素为分类依据，现在则是要以(k)行（列）中每个(k)阶子行列式为分类依据。记第(i_1,i_2,cdots,i_k)行、第(j_1,j_2,cdots,j_k)列的元素组成的行列式为(Aegin{pmatrix}i_1cdots i_k\j_1cdots j_kend{pmatrix})，剩下的(n-k)行、(n-k)列组成的行列式称为它的余子式，比如是(Aegin{pmatrix}i'_1cdots i'_{n-k}\j'_1cdots j'_{n-k}end{pmatrix})。
如果要按第(i_1,i_2,cdots,i_k)行展开，则将行列式所有项按照(Aegin{pmatrix}i_1cdots i_k\j_1cdots j_kend{pmatrix})分类，其中(j_1cdots j_k)取(1sim n)中所有(k)个数的组合。类似上面的证明思路，可知每一类的符号是((-1)^{i_1+cdots+i_k+j_1+cdots+j_k})，所以有如下按(k)行展开行列式的拉普拉斯定理（Laplace），按列展开类似。
[|A|=sum_{1leqslant j_1<cdots<j_kleqslant n}{(-1)^{i_1+cdots+i_k+j_1+cdots+j_k}Aegin{pmatrix}i_1cdots i_k\j_1cdots j_kend{pmatrix}Aegin{pmatrix}i'_1cdots i'_{n-k}\j'_1cdots j'_{n-k}end{pmatrix}} ag{11}]
拉普拉斯定理多用于有块状特征的行列式，设(A,B,C,D)分别是(s imes s,t imes t,t imes s,s imes t)的矩阵块，则容易有公式（12）的结论。
[egin{vmatrix}A&0\C&Bend{vmatrix}=egin{vmatrix}A&D\0&Bend{vmatrix}=|A||B| ag{12}]
• 计算行列式：(egin{bmatrix}A&B\B&Aend{bmatrix})，其中(A=egin{bmatrix}a&&\&ddots&\&&aend{bmatrix},:B=egin{bmatrix}&&b\&{mathinner{mkern2mu aise1pthbox{.}mkern2mu aise4pthbox{.}mkern2mu aise7pthbox{.}mkern1mu}}&\b&&end{bmatrix})。
4. 行列式技巧举例
行列式根据定义总是可以计算出来的，但实际问题中的很多行列式具有特殊的格式，而且需要得到一般的表达式。除了上面的基本工具，有时需要很多的技巧，这要求有较高的数学综合素养。我们虽然不建议搞题海战术，但不得不承认技巧和思想在数学中都是不可缺少的，而这需要一些锻炼和总结。我们经常会碰到一些具有特定规律的行列式，需要根据这些规律找到适合它的方法和技巧。
有一种行列式，它的每行（列）非常相似，但又总有一点不同，这时需要想办法提取出相同的部分。一种做法是将相同的部分单独作为新的一行（列）加到矩阵中，然后进行消除，便会得到较简单的形式，我们可以把它叫做加边法。比如以下左式，可以给它添加一行([1:a_1:a_2:cdots:a_n])（第一列其它元素为零）。还有一种做法就是将每一行（列）中不同的部分剥离开来，分别计算两个简单的行列式。比如以下右式，可以将第一个(x)拆成(y+(x-y))，接下来的递归式就容易了。
[egin{vmatrix}b_1&a_2&a_3&cdots&a_n\a_1&b_2&a_3&cdots&a_n\a_1&a_2&b_3&cdots&a_n\vdots&vdots&vdots&ddots&vdots\a_1&a_2&a_3&cdots&b_nend{vmatrix},quadegin{vmatrix}x&y&cdots&y&y\z&x&cdots&y&y\vdots&vdots&ddots&vdots&vdots\z&z&cdots&x&y\z&z&cdots&z&xend{vmatrix}]
当行列式表现为一个多项式时，我们可以把注意力集中到确定多项式的系数上，这个方法叫待定系数法。比如以下左式，多项式的(n+1)个根是可以猜出来的，多项式也就可以得到。再比如以下右式，它可以看做是(n+1)阶范德蒙行列式的一个余子式。以(x)补完最后一列，范德蒙行列式为多项式，且刚才的余子式便是(x^{n-1})项的系数（注意符号）。
[egin{vmatrix}x&a_1&a_2&cdots&a_n\a_1&x&a_2&cdots&a_n\a_1&a_2&x&cdots&a_n\vdots&vdots&vdots&ddots&vdots\a_1&a_2&a_3&cdots&xend{vmatrix},quadegin{vmatrix}1&1&cdots&1\a_1&a_2&cdots&a_n\a_1^2&a_2^2&cdots&a_n^2\vdots&vdots&ddots&vdots\a_1^n&a_2^n&cdots&a_n^nend{vmatrix}Rightarrowegin{vmatrix}1&1&cdots&1&1\a_1&a_2&cdots&a_n&x\vdots&vdots&ddots&vdots\a_1^{n-1}&a_2^{n-1}&cdots&a_n^{n-1}&x^{n-1}\a_1^n&a_2^n&cdots&a_n^n&x^nend{vmatrix}]
还有一种方法难度比较大，需要借助公式(|AB|=|A||B|)（见下篇）。有一些行列式可以先分解成两个简单行列式的积，比如以下左式（(s_k=x_1^k+x_2^k+cdots+x_n^k)）是两个范德蒙行列式的积。还有一些行列式可以形成较好的乘法等式，而该等式有助于计算行列式，比如以下右式的循环矩阵，考虑到(n)次本原单位根(omega)幂次的循环性，你可以尝试将它乘上由(1,omega,omega^2,cdots,omega^{n-1})组成的范德蒙行列式。
[egin{vmatrix}s_0&s_1&cdots&s_n\s_1&s_2&cdots&s_{n+1}\vdots&vdots&ddots&vdots\s_n&s_{n+1}&cdots&s_{2n}end{vmatrix},quadegin{vmatrix}a_1&a_2&cdots&a_n\a_n&a_1&cdots&a_{n-1}\vdots&vdots&ddots&vdots\a_2&a_3&cdots&a_1end{vmatrix}]