在线性代数中，我们花了3篇讲解（双）线性函数的相关结论。这里我想把核心内容再阐述一遍，在忽略一些细节的同时，希望对整体结构有更深刻的理解。需要注意的是，这里双线性函数只是起点，后面的内积、酉变换、正规变换，都在不断地打破和拓展之前的概念，最终还是为了讨论特殊线性变换的标准型。
1. 双线性函数
1.1 双线性函数与正交
在有了双线性函数的定义后，可知在任意选定的一组基下，双行线函数(f)可由其度量矩(A)完全确定。站在矩阵的角度，相关概念也变得更加直观。比如固定左向量(alpha)而得到的线性函数(alpha_L)，可以对应到(A)的行向量的线性组合（系数为(alpha)坐标）。而全体(alpha_L)组成的线性函数空间(W_L)，则同构于(A)的行向量生成的线性空间。那些使得(alpha_L=0)的全体(alpha)（双线性函数的左根( ext{rad}_Lf)），则同构于(alpha A=0)的解空间。对应右边的向量(eta)，也有定义(W_R)和右根( ext{rad}_Rf)。当(A)满秩时，左右根皆为空，这时称双线性函数是非退化的。
不同基下的度量矩阵(A,B)也不相同，并且与两组基的变换矩阵(P)有关系式(B=PAP')，这样的矩阵(A,B)称为合同矩阵。反之，同一组基下度量矩阵合同的变换，可以认为是同构的。为了讨论同构意义下双线性函数空间的结构，我们熟悉的方法是“不变”子空间的分割，为此还要规定式（1）左的正交性。可以证明，满足正交性的双线性函数必然是对称或反对称的，即(A=A')或(A=-A')。而双线性函数空间(T_2(V))是对称(S_2(V))和反对称(A_2(V))双线性函数空间的直和，故而有些讨论可以集中在后两个空间上。
[f(alpha,eta)=0;Leftrightarrow;f(eta,alpha)=0;Leftrightarrow;alphaperpeta ag{1}]
正交性自然地引出了向量或子空间正交补（子空间）(alpha^perp,\,W^perp)的概念。然后根据线性方程组的理论，容易推导(W,W^perp)维度之间的关系（行列向量维数与解空间的关系）。特别地有，双线性函数的左右根相同，可以记作(V^perp= ext{rad}\,f)。还有如果(f)在子空间(W)下非退化，易证(W)和(W^perp)无交集、且维度之和是(n)，从而它们是(V)的正交分割（式（2））。
[ ext{rad}\,f|_W=0;Rightarrow;Woplus W^perp=V ag{2}]
式（2）可直接用于对称和反对称双线性函数（矩阵）的标准型讨论上。若是对称矩阵，先任选(f(alpha,alpha) eq 0)，根据式（2）先将(V)分解成(alphaoplusalpha^perp)，然后依此继续分解(alpha^perp)，直至剩下一个( ext{rad}\,f)。在选定的基下（根空间任意选），函数的度量矩阵是一个对角矩阵（合同标准型）。再看反对称矩阵，先任选(f(alpha,eta)=1)，根据式（2）从(W=left<alpha,eta ight>)开始正交分解，最终得到(egin{bmatrix}0&1\-1&0end{bmatrix})和(0)组成的分块对角矩阵。
合同矩阵的秩是不变的，对称矩阵和反对称矩阵的秩在标准型上有明显的表现。反对称矩阵的秩一定是偶数，且标准型在任何域上的形式都是最简的。对称矩阵在不同域上还可以进一步讨论，以下先假定它的秩为(r)。在复数域上，通过调整基的系数，可得到标准型( ext{diag}{I_r,0_{n-r}})。在实数域上则可以得到标准型( ext{diag}{I_p,-I_q,0_{n-r}})，其中(p+q=r)。依次记三个子空间为(V^+,V^-,V^perp)，注意前两者并不唯一，而后者就是根空间。另外不难证明，任何“正”子空间都与(V^-oplus V^perp)无交集，这就可以证得：(p,q)在任何标准型中都是一样的（惯性定律），它们被称为正（负）惯性指数。
1.2 内积与酉空间
实数域（或其子域）有更多实际的场景，把函数限定在实数域上还可以度量线性空间。为了引出长度的概念，还要对函数增加一个限定，即有(f(alpha,alpha)>0)恒成立。这时(f)只能选择对称函数，且正惯性指数就是(n)（称为正定的），这样的函数也叫内积，记作(alphacdoteta)。引入内积后的实线性空间也叫欧几里得空间。接下来自然就是定义向量的长度(left|alpha ight|)、距离(d(alpha,eta))、角度（式（3）），以及得到三角不等式和勾股定理（式（4,5），这里不再重复讲述。
[ heta=arccos{frac{alphacdoteta}{left|alpha ight|cdotleft|eta ight|}} ag{3}]
[left|:left|alpha ight|-left|eta ight|: ight|leqslantleft|alpha+eta ight|leqslantleft|alpha ight|+left|eta ight| ag{4}]
[left|alpha ight|^2+left|eta ight|^2=left|alpha+eta ight|^2 ag{5}]
有时候也需要在复数域空间上定义度量的概念，但双线性函数显然不能满足要求，这时要将实内积的定义进行扩展。首先第一元仍然是线性的，然后交换变量满足式（6）左的Hermite性（可推导出第二元的半线性）。这样的二元函数在选定的基下也有式（6）右的合同矩阵（共轭对称矩阵），同样也能定义正交性以及解析其标准合同矩阵。最后如果加上正定性的要求，这样的二元函数就是复内积，或简称内积。引入内积后的复线性空间也叫酉空间，其上也可以定义长度（模）、距离、角度，以及有三角不等式和勾股定理。
[f(eta,alpha)=overline{f(alpha,eta)};Rightarrow;A'=overline{A} ag{6}]
Hermite性可以兼容实空间的线性，且复内积也是兼容实空间的实内积的，进而酉空间其实是阿基米德空间的母空间。所以如果不特别强调，以下我们都在复数域上讨论。另外，在定义了正交的空间中（不限定为内积），如果二元函数是非退化的，则使用Schmidt正交化总可以找到一组正交基。在内积空间中，还可以找到单位向量组成的标准正交基，这时内积空间同构于向量对于基的系数组成的坐标空间，而内积就等于坐标向量的内积（式（7））。
[alphacdoteta=x_1overline{y_1}+x_2overline{y_2}+cdots+x_noverline{y_n} ag{7}]
1.3 正规变换与对角化
在内积限制下的线性变换（映射）比较常见，这里有必要讨论一下它的标准型。首先限定变换下向量间的距离是不变的（保距变换），不难证明它是一个双射的线性变换，而且等价于：将一组标准正交基变换为另一组标准正交基。也就是说变换矩阵满足(Poverline{P'}=I)，这样的矩阵叫酉矩阵（实数域下叫正交矩阵），这样的变换则叫酉变换（实数域叫正交变换）。酉矩阵是名副其实的“单位矩阵”，它的行列式的模为1（利用特征式），所有特征值的模也为1（利用单位向量的变换），所有行（列）向量是正交的单位向量。
当我们讨论酉变换(A)（酉矩阵）的标准型时，其实并不一定有内积空间的定义，但如果补齐这部分定义，就能利用其独有的结构特点。正交性可以使空间分割变得非常方便，结合线性变换需要的(A)-子空间，容易想到去寻找一组正交的特征向量。先随意找到一个特征向量(eta)，并生成(A)-子空间(W)，容易证得(V=Woplus W^perp)。接下来利用双射性可知(W^perp)也是(A)-子空间（式（8），这一步不可缺少），从而可以在(W^perp)中继续寻找特征向量，最终得到式（9）的标准型。由于寻找的特征向量是正交的，(Poverline{P'})一定是一个对角矩阵，如果把特征向量单位化，(P)也可以是酉矩阵。
[alphacdot Aeta=Aalpha'cdot Aeta=alpha'cdoteta=0 ag{8}]
[PAP^{-1}= ext{diag}\,{lambda_1,lambda_2,cdots,lambda_n} ag{9}]
任意变换矩阵(A)都定义在某组基下，如果将这组基定义为标准正交基，该定义便可扩展成整个域上的内积空间。刚才我们看到了正交在对角化中的作用，现在来继续榨取这个工具的威力，把对角化的范围尽量扩大。值得提醒的是，这里的讨论需借助内积的概念，因此线性空间被限定在数域上，对角化也只讨论正交对角化。现在回顾上面的讨论，最关键的一个条件是：如果(W)是(A)-子空间，则(W^perp)也是(A)-子空间。为此就要有(alphacdot Aeta=alpha'cdoteta)，其中(alpha,alpha'in W;;etain W^perp)。如果不限定向量的范围，等式中的(alpha')总是有解的，记(A^*:alpha ightarrowalpha')，不难证明它是线性变换，且满足(A^*=overline{A'})，它也称为(A)的伴随变换。
伴随变换的矩阵关系(A^*=overline{A'})，使得它的定义可以更加自由灵活，比如教材上一般定义为(Aalphacdoteta=alphacdot A^*eta)。这里还会发现一个简单事实，如果(W)是(A)-子空间，那么(W^perp)就是(A^*)-子空间。想要从特征空间(W=left<eta ight>)开始构造对角化，就要证明(W^perp)是(A)-子空间，这也等价于(W)是(A^*)-子空间。不过在此之前，我们先从(A)可正交对角化出发，看看变换还有什么必要条件。记正交对角化(A=PDP^{-1})，则有(A^*=Par{D}P^{-1})，这时(AA^*=A^*A)。 反之，可交换性使得(A,A^*)能像标量一样在表达式里“自由穿梭”，比如容易有(left|Aalpha ight|=left|A^*alpha ight|)，更一般的还有(left|f(A)alpha ight|=left|f(A^*)alpha ight|)。
特别地，则有我们需要的(left|(A-lambda I)alpha ight|=left|(A^*-overlinelambda I)alpha ight|=0)，即(W)是(A^*)-子空间。综合这两段的讨论便有，数域上的线性变换(A)可正交对角化的充要条件是：(A)有(n)个特征值且(AA^*=A^*A)（或式（10）的等价条件），满足式（10）的变换也称为正规变换。然后就可以构造一些常见的正规变换，比如上面讨论的酉变换，再比如复数域上的共轭对称变换(A=overline{A'})，也被称为Hermite变换，实数域上就是熟知的对称变换。酉变换和Hermite变换天然有(n)个特征值，而注意到Hermite变换的特征值都是实数，所以对称变换也有(n)个特征值（放到复数域看），它们都可以正交对角化。
[AA^*=A^*A;Leftrightarrow;left|Aalpha ight|=left|A^*alpha ight| ag{10}]
2. 多重线性函数
（暂且搁置）