剑指Offer面试题：29.丑数

一、题目：丑数

题目：我们把只包含因子2、3和5的数称作丑数（Ugly Number）。求按从小到大的顺序的第1500个丑数。例如6、8都是丑数，但14不是，因为它包含因子7。习惯上我们把1当做第一个丑数。

二、两种解决方案

2.1 一一遍历法：时间效率低下

　　使用遍历法求第k个丑数，从1开始遍历，如果是丑数则count++，直到count=k为止。那么如何判断丑数呢？根据丑数的定义，丑数只有2，3，5这三个因子，那么我们就拿数字除以这三个因子。具体算法如下：

Step1.如果一个数能够被2整除，那么让他继续除以2；

Step2.如果一个数能够被3整除，那么让他继续除以3；

Step3.如果一个数能够被5整除，那么让他继续除以5；

Step4.如果最后这个数变为1，那么这个数就是丑数，否则不是。

　　根据以上算法实现代码如下：

    public int GetUglyNumber(int index)
    {
        if (index <= 0)
        {
            return 0;
        }

        int number = 0;
        int uglyCount = 0;

        while (uglyCount < index)
        {
            number++;

            if (IsUgly(number))
            {
                uglyCount++;
            }
        }

        return number;
    }

    private bool IsUgly(int number)
    {
        while (number % 2 == 0)
        {
            number /= 2;
        }

        while (number % 3 == 0)
        {
            number /= 3;
        }

        while (number % 5 == 0)
        {
            number /= 5;
        }

        return number == 1 ? true : false;
    }

　　该算法非常直观，代码也非常简洁，但最大的问题就在于每个整数都需要计算。即使一个数字不是丑数，我们还是需要对它做求余数和除法操作。因此该算法的时间效率不是很高，

2.2 空间换时间法：时间效率较高

　　根据丑数的定义，我们可以知道丑数可以由另外一个丑数乘以2，3或者5得到。因此我们可以创建一个数组，里面的数字是排好序的丑数，每一个丑数都是前面的丑数乘以2，3或者5得到的。

　　我们把得到的第一个丑数乘以2以后得到的大于M的结果记为M₂。同样，我们把已有的每一个丑数乘以3和5，能得到第一个大于M的结果M₃和M₅。那么M后面的那一个丑数应该是M₂,M₃和M₅当中的最小值：Min(M₂,M₃,M₅)。比如将丑数数组中的数字按从小到大乘以2，直到得到第一个大于M的数为止，那么应该是2*2=4<M，3*2=6>M，所以M₂=6。同理，M₃=6，M₅=10。所以下一个丑数应该是6。

　　根据以上思路实现代码如下：

    public int GetUglyNumber(int index)
    {
        if (index <= 0)
        {
            return 0;
        }

        int[] uglyNumbers = new int[index];
        uglyNumbers[0] = 1;
        int nextUglyIndex = 1;

        int multiply2 = 0;
        int multiply3 = 0;
        int multiply5 = 0;
        int min = 0;

        while (nextUglyIndex < index)
        {
            min = Min(uglyNumbers[multiply2] * 2, uglyNumbers[multiply3] * 3, uglyNumbers[multiply5] * 5);
            uglyNumbers[nextUglyIndex] = min;

            while (uglyNumbers[multiply2] * 2 <= uglyNumbers[nextUglyIndex])
            {
                multiply2++;
            }

            while (uglyNumbers[multiply3] * 3 <= uglyNumbers[nextUglyIndex])
            {
                multiply3++;
            }

            while (uglyNumbers[multiply5] * 5 <= uglyNumbers[nextUglyIndex])
            {
                multiply5++;
            }

            nextUglyIndex++;
        }

        int result = uglyNumbers[index - 1];
        uglyNumbers = null;

        return result;
    }

    private int Min(int num1, int num2, int num3)
    {
        int min = num1 < num2 ? num1 : num2;
        min = min < num3 ? min : num3;

        return min;
    }

　　和第一种方案相比，第二种方案不需要在非丑数的整数上做任何计算，因此时间效率有明显提升。但也需要指出，第二种算法由于需要保存已经生成的丑数，因此需要一个数组，从而增加了空间消耗。如果是求第1500个丑数，将创建一个能容纳1500个丑数的数组，这个数组占内存6KB。

三、单元测试与性能对比

3.1 单元测试

　　（1）测试用例

    public static void Main(string[] args)
    {
        Program p = new Program();
        p.Test(1);
        p.Test(2);
        p.Test(3);
        p.Test(4);
        p.Test(5);
        p.Test(6);
        p.Test(7);
        p.Test(8);
        p.Test(9);
        p.Test(10);
        p.Test(11);
        p.Test(1500);
        p.Test(0);
        p.Test(1500);

        Console.ReadKey();
    }

    public void Test(int index)
    {
        int result = GetUglyNumberWithSpace(index);
        Console.WriteLine("Test result is {0}", result);
        Console.WriteLine("-------------End-------------");
    }

　　（2）测试结果

3.2 性能对比

　　这里我们使用两种解决方案来求第1500个丑数，通过下面的图片可以清楚地看到两种方案的响应时间。（这里借助老赵的CodeTimer类来进行时间效率的监测）

　　（1）一一遍历法：65秒，我等得花儿都谢了

　　

　　（2）空间换时间法：4毫秒，迅雷不及掩耳

　　

　　由对比可以看出，一个简单的优化，再通过6KB的空间换取了巨大的时间效率，在实际开发中是一个值得实践的解决思路（当然，事先得权衡一下利弊）。

作者：周旭龙

出处：http://edisonchou.cnblogs.com

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