上面两篇我们了解了树的基本概念以及二叉树的遍历算法，还对二叉查找树进行了模拟实现。数学表达式求值是程序设计语言编译中的一个基本问题，表达式求值是栈应用的一个典型案例，表达式分为前缀、中缀和后缀三种形式。这里，我们通过一个四则运算的应用场景，借助二叉树来帮助求解表达式的值。首先，将表达式转换为二叉树，然后通过先序遍历二叉树的方式求出表达式的值。
一、二叉树如何表示四则运算
1.1 表达式转换为二叉树
上图是表达式“3+2*9-16/4”转换成的二叉树，观察表达式，可以看出：
（1）操作数都是叶子节点；
（2）运算符都是内部节点；
（3）优先运算的操作符都在树下方，而相对优先级较低的减法（根节点）运算则最后运算。
从上往下看，这棵二叉树可以理解如下：
（1）要理解根节点"-"号的结果必须先计算出左子树"+"和右子树"/"号的结果。可以看，要想得到"+"号的结果，又必须先计算其右子树"*"号的结果；
（2）"*"号左右孩子是数字，可以直接计算，2*9=18。接下来计算"+"号，3+18=21，即根节点的左子树结果为21；
（3）"/"号左右孩子是数字，可以直接计算，16/4=4。于是，根节点的右子树结果为4。
（4）最后计算根节点的"-"号，21-4=17，于是得出了该表达式的值为17。
1.2 二叉表达式树的构造过程解析
从上面的解析过程可以看出，这是一个递归的过程，正好可以用二叉树先序遍历的方法进行计算。下面我们来一步一步地通过图示来演示一下表达式"3+2*9-16/4"解析生成二叉树的过程。
（1）首先获取表达式的第一个字符“3”，由于表达式树目前还是一棵空树，所以3成为根节点；
（2）获取第二个字符“+”，此时表达式树根节点为数字，需要将新节点作为根节点，原根节点作为新根节点的左孩子。这里需要注意的是：只有第二个节点会出现这样的可能，因为之后的根节点必定为操作符；
（3）获取第三个字符“2”，数字将沿着根节点右链插入到最右端；
（4）获取第四个字符“*”，如果判断到是操作符，则将与根节点比较优先级，如果新节点的优先级高则插入成为根节点的右孩子，而原根节点的右孩子则成为新节点的左子树；
（5）获取第五个字符“9”，数字将沿着根节点右链插入到最右端；
（6）获取第六个字符“-”，“-”与根节点“+”比较运算符的优先级，优先级相等则新节点成为根节点，原表达式树则成为新节点的左子树；
（7）获取第7与第8个字符组合为数字16，沿着根节点右链插入到最右端；
（8）获取第九个字符“/”，与根节点比较运算符的优先级，优先级高则成为根节点的右孩子，原根节点右子树则成为新节点的左子树；
（9）获取第十个字符“4”，还是沿着根节点右链查到最右端。至此，运算表达式已全部遍历，一棵表达式树就已经建立完成。
SUMMARY：从以上过程中我们可以将表达式树的建立算法归结如下
①第一个节点先成为表达式树的根；
②第二个节点插入时变为根节点，原根节点变为新节点的左孩子；
③插入节点为数字时，沿着根节点右链插入到最右端；
④插入节点为操作符时，先跟根节点操作符进行对比，分两种情况进行处理：
一是当优先级不高时，新节点成为根节点，原表达式树成为新节点的左子树；【如上面的步骤（6）】
二是当优先级较高时，新节点成为根节点右孩子，原根节点右子树成为新节点的左子树。【如上面的步骤（8）】
二、二叉表达式树的模拟实现
2.1 二叉表达式树节点的定义
private class Node { private bool _isOptr; public bool IsOptr { get { return _isOptr; } set { _isOptr = value; } } private int _data; public int Data { get { return _data; } set { _data = value; } } private Node _left; public Node Left { get { return _left; } set { _left = value; } } private Node _right; public Node Right { get { return _right; } set { _right = value; } } public Node(int data) { this._data = data; this._isOptr = false; } public Node(char optr) { this._isOptr = true; this._data = optr; } public override string ToString() { if (this._isOptr) { return Convert.ToString((char)this._data); } else { return this._data.ToString(); } } }
与普通二叉树节点定义不同，这里新增了一个isOptr标志，来判断该节点是数字节点还是运算符节点；
2.2 二叉表达式树的创建实现
private Node CreateTree() { Node head = null; while(_pos < _expression.Length) { Node node = GetNode(); // 将当前解析字符转换为节点 if(head == null) { head = node; } else if (head.IsOptr == false) // 根节点为数字，当前节点为根，原根节点变为左孩子 { node.Left = head; head = node; } else if (node.IsOptr == false) // 如果当前节点是数字 { // 当前节点沿右路插入最右边成为右孩子 Node tempNode = head; while(tempNode.Right != null) { tempNode = tempNode.Right; } tempNode.Right = node; } else // 如果当前节点是运算符 { if (GetPriority((char)node.Data) <= GetPriority((char)head.Data)) // 优先级低则成为根，原二叉树成为插入节点的左子树 { node.Left = head; head = node; } else // 优先级高则成为根节点的右子树，原右子树成为插入节点的左子树 { node.Left = head.Right; head.Right = node; } } } return head; }
这里按照我们在上面所归纳的创建过程算法进行了实现，代码中的注释已经比较完善，这里就不再赘述。
2.3 二叉表达式的先序遍历计算运算结果实现
// 先序遍历进行表达式求值 private int PreOrderCalc(Node node) { int num1, num2; if (node.IsOptr) { // 递归先序遍历计算num1 num1 = PreOrderCalc(node.Left); // 递归先序遍历计算num2 num2 = PreOrderCalc(node.Right); char optr = (char)node.Data; switch (optr) { case '+': node.Data = num1 + num2; break; case '-': node.Data = num1 - num2; break; case '*': node.Data = num1 * num2; break; case '/': if (num2 == 0) { throw new DivideByZeroException("除数不能为0！"); } node.Data = num1 / num2; break; } } return node.Data; }
这里通过递归地进行先序遍历，也就是求得根节点（运算符）的两个子树的值，最后再通过对这两个值进行根节点运算符的计算得到最终的结果。
2.4 四则运算运行结果
由于本表达式树的设计较为简单，没有考虑到带括号的情形，因此这里只用不带括号的表达式进行查看，运行结果如下图所示：
（1）3+2*9-16/4
（2）4*5-16/4+2*9
附件下载
本文所实现的二叉表达树求解四则运算的C#代码：http://pan.baidu.com/s/1eQheNQy
参考资料
（1）陈广，《数据结构（C#语言描述）》
（2）隐约有歌，《C#实例讲解二叉树原理与实现》
（3）zhx6044，《栈和二叉树的使用》
（4）zero516cn，《算术表达式—二叉树》