微积分重点 第一课至第四课

1.微积分是关于两个函数间关系的学问

 例如， 距离与速度的关系  f(t)  --- df/dt

          高度与斜率的关系  y(x)  ---- dy/dx

函数1--->函数2:   求斜率

函数2--->函数1:   求面积，乘以自变量

两条曲线不同，但是包含了相同的信息

函数2表示了函数1在某一瞬间的变化率

2.导数的总览和计算

 三个重要的基本函数：幂函数 三角函数 指数函数

求导过程： Δy/Δx 无限逼近取极限 就得到了 dy/dx

sinx 在零点处斜率逼近1, 在pi/2处斜率为零， 正好符合cosx

3.二阶导数

  二阶导数表明函数向上弯曲(凸)还是向下弯曲（凹） bending up or bending down

 正值 凸  负值 凹

驻点（极值点）：暂时不再上升，也不下降 因此一阶导数为零。二阶导数正 则是极小值 反之是极大值

拐点:弯曲方向发生变化的点，二阶导数为零

求最值的应用：求出所以极值点和边界值 （对二阶导，只需要知道符号，不需要计算值）

3.指数函数

  指数函数是通过微积分构造出来的函数

  给出微分方程 dy/dx =y ,和初始条件 y=1|x=0,得到y=e^x

  e^x 的构造过程：  从y = 1 开始，dy/dx 也要等于1,因此y要加上x,然后dy/dx也加上x，依次类推

 得到展开式 ∑(1/n!)xⁿ  （第二重要的级数，最重要的级数：几何级数）

 由于阶乘的增长速度远远超过指数，因此最后趋向于极限

  当x等于1时，就可以计算出e的值

  银行存款的复利

 把一年的利率分为n份，无限细分 得到  （1+1/n）ⁿ当n趋向无穷时，得到e