整理自Andrew Ng的machine learning课程。
目录：
- 梯度下降算法
- 梯度下降算法的直观展示
- 线性回归中的梯度下降
前提：
线性回归模型 ：$h( heta_0, heta_1)= heta_0+ heta_1x$
损失函数：$J( heta_0, heta_1)=frac{1}{2m} sum_{i=1}^m (h_ heta(x^(i))-y^(i))^2$
1、梯度下降算法
目的：求解出模型的参数 / estimate the parameters in the hypothesis function
如下图所示，$ heta_0, heta_1$代表模型的参数，$J( heta_0, heta_1)$代表模型的损失函数
目的：从某一点出发，走到最低点。
怎么走：沿着所在点处最陡的方向下降。某一点山坡最陡的方向就是这一点的切线方向，也就是这一点的导数。每一步走多大取决于学习率$alpha$。
在图中，每一个十字星之间的距离取决与$alpha$的大小。小的$alpha$会使两点之间的距离比较小，大的$alpha$会产生大的步距。每一步走的方向取决于所在点的偏导。不同的起始点会有不同的终点，如上图从A出发最终到达B，而从C出发最终到达D。
梯度下降算法如下：
$ heta_j:= heta_j-alphafrac{partial}{partial heta_j}J( heta_0, heta_1)$ repeat util convergence
注意：$ heta_0, heta_1$在每一步的迭代中都是同步更新的
2、梯度下降算法的直观展示
如下图：此图是一个损失函数的图像
当$ heta_1$在最小值点的右边时，图像的斜率（导数）是正的，学习率$alpha$也是正的，根据梯度下降算法的公式，更新后的$ heta_1$是往左边方向走了，的确是朝着最小值点去了；
当$ heta_1$在最小值点的左边时，图像的斜率（导数）是负的，学习率$alpha$是正的，根据梯度下降算法的公式，更新后的$ heta_1$是往右边方向走了，也是朝着最小值点去了；
另外，我们需要调整$alpha$使的算法可以在一定的时间内收敛。收敛失败或者收敛的非常慢，都说明使用的步长$alpha$是错误的。
如果使用固定的$alpha$，算法会收敛吗？
梯度下降算法隐含的一个信息就是，当点越来越接近最小值点的时候，梯度也会越来越小，到达最小值点时，梯度为0；
所以即使不去调整$alpha$，走的步长也是会越来越短的，算法最终也还是会收敛的，所以没必要每次都调整$alpha$的大小。
3、线性回归中的梯度下降算法
当把梯度下降算法具体的运用到线性回归上去的时候，算法就可以在偏导部分写的更加具体了：
repear until convergence {
$qquad heta_0:= heta_0-alpha frac {1}{m} sum_{i=1}^m (h_ heta(x_i)-y_i)$
$qquad heta_1:= heta_1-alpha frac {1}{m} sum_{i=1}^m ((h_ heta(x_i)-y_i)x_i)$
}
batch gradient descent
以上：在每一步更新参数时，让所有的训练样本都参与更新的做法，称为batch gradient descent；
注意到：虽然梯度下降算法可能会陷入局部最优的情况，但是在线性回归中不存在这种问题，线性回归只有一个全局最优，没有局部最优，算法最终一定可以找到全局最优点（假设$alpha$不是特别大）。
线性回归中，J是一个凸二次函数，这样的函数是碗状的（bowl-shaped），没有局部最优，只有一个全局最优。