Delaunay Triangle 学习 2
参考
Delaunay Triangulation and Meshing Application to Finite Elements [book]
https://www.bilibili.com/video/BV1vi4y1x796?from=search&seid=8484114193065196500
https://en.wikipedia.org/wiki/Delaunay_triangulation 维基百科
http://paulbourke.net/papers/triangulate/ 所有带已经实现的代码
四面体的体积
面的点序
- face 1: P4 P3 P2,
- face 2: P1 P3 P4,
- face 3: P4 P2 P1,
- face 4: P1 P2 P3
边序列
- edge 1:P1 P2,
- edge 2:P1 P3,
- edge 3:P1 P4,
- edge 4:P2 P3,
- edge 5:P2 P4,
- edge 6:P3 P4,
求解四面体的球心的线性方程组
其中(l^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}) 球心的坐标,即要求解的值。
直接求解四面体的外接圆的半径
(r_{k}=frac{sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(a-b+c)}}{24 V_{k}})
其中a,b和c是四面体对应的边的乘积。
内切球的半径
其中(S_i) 是四面体的面的面积。
四面体的质量
其中(S_K)表示四面体面的总面积(alpha=frac{sqrt{6}}{12})和从0-1描述质量的等式
其中(h_{s}=sqrt{sum_{i=1}^{6} L_{i}^{2}})和(L_i)表示四面体边的长度(eta=frac{sqrt{3}}{216})
重要提示
三维Delaunay元素允许条的存在。
三角化
欧拉公式
(ns - na + ne + c = 2) 其中ns是顶点数量,na是边的数量,ne是元素的数量,c是连接的组件边界三角化的数量(2d)
(ns - na + nf - ne = cste) 其中nf三角化面片的数量,cste是一个常量链接拓扑的区域
共形和非共形的三角形,如上图。
cste = 1,对于一个球
cste = 0,对于一个环
cste = 2,对于一个球有一个特殊的孔洞
因此在二维中,如果这有一个孔洞在三角化中,如果连接的组件的边界只有一个。(ns - na + ne = 1)
连接关系(na_f - 2 imes na_i + 3 imes ne = 0) (ne) 是元素的数量,((na_i))是内部边的数量,((na_f))是外部边界的数量。
在三维中,一个三角化是一个封闭的面满足关系(ns - na + nf = 2) (ns) 边界点在三角化过程中,na是边界边,nf是边界面。
空圆特性
即一个三角形的外接圆不包含相邻三角形的顶点。满足空圆特性的三角形的最小角一定大于不满足空圆特性的最小角
Delaunay剖分具有的优异特性:
- 最接近:以最近的散点形成三角形,且各线段(三角形的边)皆不相交。
- 唯一性:不论从区域何处开始扣减,最终豆浆得到一致的结果。
- 最优性:任意两个相邻三角形形成的凸四边形的对角线如果可以互换的话,那么最小角不会增大
- 最规则:如果将三角网中的每个三角形的最小角进行升序排列,则Delaunay三角网...
- 区域性:新增、删除、移动某一个顶点时只会影响临近的三角形。
- 具有凸多边形的外壳:三角网最外层的边界形成一个凸多边形的外壳。
网格的质量
(Q_{mathcal{M}}=max _{K in mathcal{T}_{h}} Q_{K}) 其中(Q_{mathcal{M}}) 是网格中最差的元素。
3D的网格质量可以从2D中推导出来
(Q_{3 D} approx frac{sqrt{2}}{2} Q_{2 D}+1-frac{sqrt{2}}{2})